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埃爾米特矩陣

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埃爾米特矩陣(英語:Hermitian matrix,又譯作厄米特矩陣厄米矩陣),也稱伴隨矩陣,是共軛對稱方陣。埃爾米特矩陣中每一個第i行第j列的元素都與第j行第i列的元素的複共軛。例如就是一個埃爾米特矩陣。

顯然,埃爾米特矩陣主對角線上的元素都是實數,其特徵值也是實數。對於實矩陣,如果它是對稱矩陣,則它也滿足埃爾米特矩陣的定義,即,實對稱矩陣是埃爾米特矩陣的特例。

定義

對於矩陣,若對A中任意元素有:

其中共軛算子,則記作,其中為共軛轉置,稱A為埃爾米特矩陣。

性質

  • AB是埃爾米特矩陣,那麼它們的和A+B也是埃爾米特矩陣;而只有在AB滿足交換性(即AB = BA)時,它們的積才是埃爾米特矩陣。
  • 可逆的埃爾米特矩陣A逆矩陣A-1仍然是埃爾米特矩陣。
  • 如果A是埃爾米特矩陣,對於正整數nAn是埃爾米特矩陣。
  • 方陣C與其共軛轉置的和是埃爾米特矩陣,
  • 方陣C與其共軛轉置的差斜埃爾米特矩陣
  • 任意方陣C都可以用一個埃爾米特矩陣A與一個斜埃爾米特矩陣B的和表示:
  • 埃爾米特矩陣是正規矩陣,因此埃爾米特矩陣可被對角化,而且得到的對角陣的元素都是實數。這意味著埃爾米特矩陣的特徵值都是實的,而且不同的特徵值所對應的特徵向量相互正交,因此可以在這些特徵向量中找出一組Cn正交基
  • n-階埃爾米特矩陣的元素構成維數n2實向量空間,因為主對角線上的元素有一個自由度,而主對角線之上的元素有兩個自由度。
  • 如果埃爾米特矩陣的特徵值都是正數,那麼這個矩陣是正定矩陣,若它們是非負的,則這個矩陣是半正定矩陣

埃爾米特序列

埃爾米特序列(亦或埃爾米特向量)指滿足下列條件的序列ak(其中k = 0, 1,…, n):

n偶數,則an/2實數

實數序列的離散傅立葉轉換是埃爾米特序列。反之,一個埃爾米特序列的逆離散傅立葉轉換是實序列。

參見

參考資料