在數學中,實閉體或實封閉體是一類有序體,使得其中每個正元素皆可表為平方,且任何奇數次多項式都有根。以下將給出幾種等價的定義。
定義
形式實體
假設所論之體的特徵數皆為零。若在一個體
中,
無法寫成平方和(表法:
),則稱
是形式實的。
每個有序體都是形式實體;形式實的定義本身不涉及序結構,但藉由實閉包的存在性可證明每個形式實體皆帶序結構。
實封閉體
一個實封閉體
若滿足下列等價條件,則稱之實封閉體:
上存在一個序結構,使得其中每個正元素皆可表為平方,且任何奇數次多項式都有根。
上存在一個序結構,使之滿足中間值定理。
- 對任意
,或者
或者
;且任何奇數次多項式都有根。
非代數封閉,而
代數封閉。
- 若
,
是形式實的,則
。
我們可以純以代數性質定義實封閉體,並由
得到唯一的序結構。
實閉包
對任何形式實體
,都存在代數擴張
,使得
是實封閉的。我們稱
是
的一個實閉包。實閉包並不唯一。
若在
上固定一個序結構,並要求
的序結構與之相容;則此時實閉包
存在並唯一,且
。
例子
- 實數體
![{\displaystyle \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc)
;它是
的實閉包。
- 可計算數
- Puiseux級數
模型論觀點
實封閉體的研究首先由數學家展開,隨後引起了邏輯學家的興趣。採用形式語言
,設
為實封閉體(帶序結構)的
-一階理論,塔斯基證明了
上有量詞消去;因此任兩個
的模型都是初等等價的。一方面,我們可運用
上的特有工具(微積分、拓撲等等)證明一般實封閉體上的一階句子;另一方面,則可透過適當的體擴張解決
上的問題,後一方向上最著名的成就是 Abraham Robinson 對希爾伯特第十七問題的證明。
如果改採形式語言
,並取實封閉體的代數定義
,此時則無法消去量詞(在
中考慮公式
)。
設
是實封閉體,換言之
,根據
上的量詞消去,
上的可定義集只是有限多個線段與孤立點的聯集。此性質稱作O-極小性,它較量詞消去為弱,卻是研究
上可定義集的幾何構造之關鍵。
量詞消去也蘊含
的可判定性,然而塔斯基給出的演算法其複雜度過高,並不實用。
若承認廣義連續統假設,則可進一步以超積描述實封閉體的性狀。
文獻
- Chang, Chen Chung and Keisler, H. Jerome: Model Theory, North-Holland, 1989.
- H. Garth Dales and W. Hugh Woodin: Super-Real Fields, Clarendon Press, 1996.
- Computational Real Algebraic Geometry, Bhubaneswar Mishra, Handbook of Discrete and Computational Geometry, CRC Press, 1997 (Postscript 版本 (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)); 亦見 2004 edition, p. 743, ISBN 1-58488-301-4
- Saugata Basu, Richard Pollack and Marie-Françoise Roy, Algorithms in real algebraic geometry, Springer, Algorithms and computation in mathematics, 2003, ISBN 3540330984 (在線版本)
- Bob F. Caviness, Jeremy R. Johnson, editors, Quantifier elimination and cylindrical algebraic decomposition, Springer, 1998, ISBN 3211827943