抽樣分布

在統計學中，抽樣分布是由隨機抽樣的樣本統計量所形成的機率分布。母體的數值特徵被稱為母數，例如母體均值 $\mu$、母體標準差 $\sigma$ 和母體比例 $p$ 等。而對於樣本而言，樣本統計量可以看做是樣本的函數，是一個隨機變數。每一次抽樣都會得到一個對應的樣本均值 ${\bar {x}}$、樣本誤差 $s$ 和樣本比例 ${\bar {p}}$ 等，作為對母體參數的估計值。而這些統計量所形成的機率分布即抽樣分布。

樣本均值

對於樣本均值而言，其抽樣分布具有如下性質：

${\bar {x}}$ 的期望值等於該樣本選取自的母體均值。

$$E({\bar {x}})=\mu$$

將樣本均值 ${\bar {x}}$ 的標準差記為 $\sigma _{\bar {x}}$，樣本容量記為 $n$，母體容量記為 $N$。

對於無限母體：

$$\sigma _{\bar {x}}={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}$$

對於有限母體：

$$\sigma _{\bar {x}}={\sqrt {\frac {N-n}{N-1}}}({\frac {\sigma }{\sqrt {n}}})$$

這裡 ${\sqrt {(N-n)/(N-1)}}$ 通常被稱為有限母體修正係數。一般認為當樣本容量小於母體容量的5%，即 $n/N\leq 0.05$ 時，該係數可以忽略不計。

樣本比例

對於樣本比例而言，其抽樣分布具有如下性質：

${\bar {p}}$ 的期望值等於該樣本選取自的母體比例。

$$E({\bar {p}})=p$$

將樣本比例 ${\bar {p}}$ 的標準差記為 $\sigma _{\bar {p}}$，樣本容量記為 $n$，母體容量記為 $N$。

對於無限母體：

$$\sigma _{\bar {p}}={\sqrt {\frac {p(1-p)}{n}}}$$

對於有限母體：

$$\sigma _{\bar {p}}={\sqrt {\frac {N-n}{N-1}}}{\sqrt {\frac {p(1-p)}{n}}}$$

同樣，當 $n/N\leq 0.05$ 時，該係數可以忽略不計。

參考文獻

參考書籍

• Modern Business Statistics with Microsoft Excel, United States: Cengage Learning, ISBN 9780357708620