此條目介紹的是集合的0-1指示函數。關於其他指示特徵的函數,請見「
示性函數」。
在集合論中,指示函數是定義在某集合X上的函數,表示其中有哪些元素屬於某一子集A。指示函數有時候也稱為示性函數或特徵函數。
集X的子集A的指示函數是函數
,定義為
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若
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若
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A的指示函數也記作
或
。
簡單性質
把X的子集A對應到它的指示函數的映射是雙射,值域是所有函數
的集合。
如果A和B是X的兩個子集,那麼
,
以及
。
更一般地,設A1, ..., An是X的子集。對任意
,可知
若且唯若x不屬於任何Ak。
故有
。
展開左式
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|
|
,
|
其中|F|是F的勢。這是容斥原理的一個形式。
如上一例子所示,指示函數是組合數學一個有用記法。這記法也用在其他地方,例如在概率論:若X是概率空間,有概率測度P,A是可測集,那麼1A就是隨機變量,其期望值等於A的概率。
。
這等式用於馬爾可夫不等式的一個簡單證明裡。