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有限交集性質

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點集拓撲學中,有限交集性質是集合 X 的子集的集合(子集族,即冪集 的子集)的性質。一個集合有這個性質如果這個集合的任何有限個子集的交集為非空。

定義

是集合,帶有 子集族。則集合 有有限交集性質(fip),如果任何有限子集合 都有非空交集

討論

這個條件被平凡的滿足,如果在整個搜集上的交集非空(特別是如果這個搜集自身是空的);它還被平凡的滿足,如果這個搜集是嵌套的,這意味著對於任何有限子搜集,這個子搜集的特定元素被包含在這個子搜集的所有其他元素中,比如嵌套的區間序列

(0, 1/n)。

有限交集性質可用於公式化緊緻性的可供替代的定義:一個空間是緊緻的,若且唯若所有滿足有限交集性質的閉集的搜集自身都有非空交集。[1]。這個緊緻性的公式化用於吉洪諾夫定理實數不可數性的一些證明中。

例子

例如濾子通過定義有有限交集性質。

定理

, F 有有限交集性質。則存在一個 超濾子(在 中)使得 。詳細證明參見 [2]

變體

集族 A強有限交集性質(sfip),如果所有 A 的有限子集族有有限交集。

引用

  1. ^ a space is compact iff any family of closed sets having fip has non-empty intersection. PlanetMath. 
  2. ^ Csirmaz, László and Hajnal, András: Matematikai logika. Eötvös Loránd University, Budapest, 1994. (online available, in Hungarian頁面存檔備份,存於網際網路檔案館))