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李代數上同調

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在數學中,李代數上同調李代數的一種上同調理論,由謝瓦萊艾倫伯格[1]為了對緊李群拓撲空間的上同調進行代數構造而建立。在上文提及的論文中,一個特定的被稱作Koszul復形英語Koszul_complex的特殊復形,在李代數的上定義,而其上同調則以一般形式被構造。

動機

令G為一個緊李群,則其被對應的李代數完全確定,因此由李代數來確定李群上同調應為可能的。我們使用如下的構造。注意到李群的上同調是G上的微分形式構成的復形對應的德拉姆上同調,而這個復形可以被替換為等變微分形式的復形,而後者則可以被看作帶有一個合適的微分算子的李代數的外代數。這一微分算子的構造對於任何李代數都成立,因此被用於定義所有李代數的李代數上同調。更加一般化地,我們可以用類似的構造來定義模係數的李代數上同調。

定義

是一個交換環R上的一個李代數,其泛包絡代數;令M為的一個表示(或者,等效地,的一個模)。將R考慮為的一個平凡表示,則可以構造上同調群

(參見Ext函子)。等效地,我們可以將其看作下面這個左正合不變子模函子的右導出函子

類似地,可以定義李代數同調群為

(參見Tor函子)。我們也可以將其看作下面這個右正合協不變函子的左導出函子:

李代數上同調的重要基本結果包括:懷特海德引理英語Whitehead's_lemma_(Lie_algebras)外爾定理英語Weyl's_theorem_on_complete_reducibility萊維分解定理英語Levi_decomposition

低維上同調

第零上同調群,由定義,是李代數在模上作用的不變量:

第一上同調群,是所有導子的空間模去內導子空間:

其中導子指一個從李代數到M的映射d使得

若有M內的元素a使得

則稱其為內導子。

第二上同調群

是由M對李代數的李代數擴張的等價類的空間

對於更高維的上同調群,似乎沒有簡單的詮釋存在。

參見

注釋

文獻