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格拉姆-施密特正交化

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線性代數
向量 · 向量空間 · 基底  · 行列式  · 矩陣

線性代數中,如果內積空間上的一組向量能夠組成一個子空間,那麼這一組向量就稱為這個子空間的一個基。Gram-Schmidt正交化提供了一種方法,能夠通過這一子空間上的一個基得出子空間的一個正交基,並可進一步求出對應的標準正交基

這種正交化方法以約爾根·佩德森·格拉姆英語Jørgen Pedersen Gram艾哈德·施密特英語Erhard Schmidt命名,然而比他們更早的拉普拉斯(Laplace)和柯西(Cauchy)已經發現了這一方法。在李群分解中,這種方法被推廣為岩澤分解(Iwasawa decomposition)。

數值計算中,Gram-Schmidt正交化是數值不穩定的,計算中累積的捨入誤差會使最終結果的正交性變得很差。因此在實際應用中通常使用豪斯霍爾德轉換Givens旋轉進行正交化。可以用於矩陣計算。

記法

  • 維數n 的內積空間
  • 中的元素,可以是向量、函數,等等
  • 內積
  • ……張成的子空間
  • 上的投影

基本思想

圖1 上投影,構造上的正交基

Gram-Schmidt正交化的基本想法,是利用投影原理在已有正交基的基礎上構造一個新的正交基。

上的維子空間,其標準正交基為,且不在上。由投影原理知,與其在上的投影之差


是正交於子空間的,亦即正交於的正交基。因此只要將單位化,即

那麼就是上擴展的子空間的標準正交基。

根據上述分析,對於向量組張成的空間 (),只要從其中一個向量(不妨設為)所張成的一維子空間開始(注意到就是的正交基),重複上述擴展構造正交基的過程,就能夠得到 的一組正交基。這就是Gram-Schmidt正交化

算法

首先需要確定已有基底向量的順序,不妨設為。Gram-Schmidt正交化的過程如下:

這樣就得到上的一組正交基,以及相應的標準正交基


考察如下歐幾里得空間Rn中向量的集合,歐氏空間上內積的定義為<a, b> = bTa

下面作Gram-Schmidt正交化,以得到一組正交向量:

下面驗證向量的正交性:

將這些向量單位化:

於是就是 的一組標準正交基底。

不同的形式

隨著內積空間上內積的定義以及構成內積空間的元素的不同,Gram-Schmidt正交化也表現出不同的形式。

例如,在實向量空間上,內積定義為:

在複向量空間上,內積定義為:

函數之間的內積則定義為:

與之對應,相應的Gram-Schmidt正交化就具有不同的形式。

參見

外部連結