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橢圓算子

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定義在環形上的拉普拉斯方程上的一個解。拉普拉斯算子是橢圓算子的最有名的一個例子。

橢圓算子數學偏微分方程理論中的一類微分算子,它是拉普拉斯算子的泛化。橢圓算子定義為所有最高階導數的係數為正的微分算子,這意味著算子沒有實的特徵方向。

橢圓算子是典型的位勢論,並且它們頻繁地出現在靜電學連續介質力學中。橢圓算子的正則性意味著它的解通常是光滑函數(如果算子的係數是光滑的)。雙曲英語Hyperbolic partial differential equation方程和拋物方程的穩定解通常要求解橢圓方程。

定義

上的線性微分算子

被稱為橢圓算子,如果對任意,任意非零滿足

在許多應用中僅滿足上述條件還遠遠不夠,當時可用一致橢圓條件代替它: 其中C是正常數。注意到橢圓性只依賴於最高階項。

非線性算子

是橢圓算子如果它關於的一階泰勒展開式在任意一點處都是線性橢圓算子。

實例:二階算子

為了說明問題,我們選取二階偏微分算子形式,

其中.如果滿足高階項係數矩陣x

正定實係數對稱矩陣,則這樣的算子叫做橢圓算子。

參看