模的支撐

在 交換代數 中， 一個交換環上的 模 $M$ 的支撐是一個集合，它包含所有 $A$ 上的理想 ${\mathfrak {p}}$，使得$M_{\mathfrak {p}}\neq 0$.  通常可以記為 $\operatorname {Supp} (M)$. 由定義，支撐是 $A$ 的譜的子集。

性質

• $M=0$ 若且唯若它的支撐是空集。

• 令 $0\to M'\to M\to M''\to 0$ 是一個 $A$ 模正合序列. 那麼

  $\operatorname {Supp} (M)=\operatorname {Supp} (M')\cup \operatorname {Supp} (M'').$

注意這裡的併集不一定是不相交的.

• 如果 $M$ 是子模 $M_{\lambda }$ 的和, 那麼

$\operatorname {Supp} (M)=\bigcup _{\lambda }\operatorname {Supp} (M_{\lambda }).$

• 如果 $M$ 是一個有限生成 $A$ 模，那麼 $\operatorname {Supp} (M)$ 是的所有的包含 $M$ 的消滅元所構成的素理想的集合. 特別的, 它在 $\operatorname {Spec} (A)$ 的 Zariski拓撲結構 中是閉的.

• 如果 $M,N$ 都是有限生成 $A$-模，那麼

  $\operatorname {Supp} (M\otimes _{A}N)=\operatorname {Supp} (M)\cap \operatorname {Supp} (N).$

• 如果 $M$ 是一個有限生成模並且 $I$ 是 $A$ 的理想，那麼 $\operatorname {Supp} (M/IM)$ 是包含 $I+\operatorname {Ann} (M).$ 素理想的集合. 這也就是

$V(I)\cap \operatorname {Supp} (M)$.

准凝聚層的支撐

如果 $F$ 是概形 X上的一個 准凝聚層, 層$F$的支撐是點集 x∈X 使得 stalk $F$_x 非零. 這個定義與空間 X上的 函數的支撐是一致的, 這就是我們使用"支撐"這個詞的動機. 模上層的支撐的大部分性質都可以一字一句地推廣到准凝聚層上來. 例如, 凝聚層 (更一般地, 一個有限型的層) 是空間 X的閉集.

如果 $M$ 是一個 $A$-模, 那麼 $M$ 作為模的支撐等價於 $M$ 誘導的仿射概形 $\operatorname {Spec} (A)$ 上的准凝聚層 ${\tilde {M}}$ 的支撐. 另外, 如果 $\{U_{\alpha }=\operatorname {Spec} (A_{\alpha })\}$ 是概形 $X$ 的一個仿射覆蓋, 那麼 $F$ 作為層的支撐等價於每個 $A_{\alpha }$-模 $M_{\alpha }$ 作為模的支撐的併集.

由正合序列 $0\to {\mathcal {O}}_{X}(-D)\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{D}\to 0$ 對於一個在光滑射影簇 $X$ 中的除子 D, 如果我們令開集 $U=X-D$ 則有 ${\mathcal {O}}_{X}(-D)(U)\cong {\mathcal {O}}_{X}(U)$, 這可以由線叢的定義得到, 並且注意到這裡 $U\cap D=\varnothing$.

例子

由前面已知, 一個素理想 ${\mathfrak {p}}$ 在模 $M$ 的支撐里, 若且唯若它包含 $M$ 的消滅元. 來看一個例子

${\frac {\mathbb {C} [x,y,z,w]}{(x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4})}}\in {\text{Mod}}(\mathbb {C} [x,y,z,w])$

作為模的消滅元是理想 $(x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4})$. 這意味著 ${\text{Supp}}(M)\cong \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,y,z,w]/(x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4}))$ 也就是說它的支撐是多項式 $x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4}$ 的零點.

現在來看短正合序列 $0\to I\to R\to R/I\to 0$ 我們可以認為理想 $(x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4})$ 的支撐等價於 ${\text{Spec}}(\mathbb {C} [x,y,z,w]_{(x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4})})$ 也就是多項式零點的補集.

在specialization意義下, 模的支撐總是閉的.

現在, 如果我們在一個整環里取兩個多項式$f_{1},f_{2}\in R$, 使得理想 $(f_{1},f_{2})$ 是完全交, 那麼張量積的性質告訴我們 ${\text{Supp}}\left({\frac {R}{(f_{1})}}\otimes _{R}{\frac {R}{(f_{2})}}\right)={\text{Supp}}\left({\frac {R}{(f_{1})}}\right)\cap {\text{Supp}}\left({\frac {R}{(f_{2})}}\right)\cong {\text{Spec}}(R/(f_{1},f_{2}))$

相關參考

• Associated prime
• Support (mathematics)