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正定矩陣

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線性代數
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線性代數裡,正定矩陣(英語:positive-definite matrix)是埃爾米特矩陣的一種,有時會簡稱為正定陣。在線性代數中,正定矩陣的性質類似複數中的實數。與正定矩陣相對應的線性算子對稱正定雙線性形式(複域中則對應埃爾米特正定雙線性形式)。

定義

一個 的實對稱矩陣 正定的,若且唯若對於所有的非零實係數向量 ,都有 。其中 表示 轉置。對於複數的情況,定義則為:一個 埃爾米特矩陣 是正定的若且唯若對於每個非零的複向量 ,都有 。其中 表示 共軛轉置


這樣的定義仰賴一個事實:對於任意的埃爾米特矩陣 及複向量 必定是實數。

首先,因為 是埃爾米特矩陣,所以我們有 。接下來我們計算所求的共軛轉置。因為 是純量且其共軛複數等於自身,所以根據複數的性質,我們得出 是實數。

正定矩陣

對於 埃爾米特矩陣 ,下列性質與「 為正定矩陣」等價:

  1. 的所有的特徵值 都是正的。
    根據譜定理 與一個實對角矩陣 相似(也就是說 ,其中 么正矩陣,或者說 在某個正交基可以表示為一個實對角矩陣)。因此,是正定陣若且唯若相應的 的對角線上元素都是正的。 另外,也可以假設 的一組特徵值與特徵向量,根據定義 ,從左側同乘以 得到:。因為 是正定矩陣,根據定義我們有 。移項整理後可以得到 。注意因為特徵向量 ,所以前述 不會有無解的情形。
  2. 半雙線性形式 定義了一個 上的內積。實際上,所有 上的內積都可視為由某個正定矩陣通過此種方式得到。
  3. 是向量 構成的格拉姆矩陣,其中 。更精確地說, 定義為:。換句話說, 具有 的形式,其中 不一定是方陣,但必須是單射的。
  4. 的所有順序主子式,也就是順序主子陣行列式都是正的(西爾維斯特準則英語Sylvester's criterion)。明確地說,就是考察 左上角大小 的子矩陣的行列式。對於半正定矩陣而言,相應的條件應改為所有的主子式非負。但順序主子式非負並不能推出矩陣是半正定的。比如以下例子:
  5. 存在唯一的下三角矩陣 ,其主對角線上的元素全是正的,使得 。其中 共軛轉置。這一分解被稱為科列斯基分解

對於實對稱矩陣,只需將上述性質中的 改為 ,並將「共軛轉置」改為「轉置」即可。

二次型

由以上的第二個等價條件,可以得到二次型形式下正定矩陣的等價條件:用 代表 ,設 上的一個向量空間。一個埃爾米特型

是一個雙線性映射,使得 總是 共軛。這樣的一個映射 正定的若且唯若對於 中所有的非零向量 ,都有

負定、半定及不定矩陣

與正定矩陣對應,一個 的埃爾米特矩陣 負定矩陣(英語:negative-definite matrix)若且唯若對所有非零向量 (或 ),都有

半正定矩陣(英語:positive semi-definite matrix)若且唯若對於所有非零向量 (或 ),都有

半負定矩陣(英語:negative semi-definite matrix)若且唯若對於所有非零向量 (或 ),都有

如果一個埃爾米特矩陣既不是半正定也不是半負定的,那麼稱其為不定矩陣(英語:indefinite matrix)。

可以看出,上一節中正定矩陣的第一個等價性質只需作出相應改動,就可以變為判別負定矩陣、半正定矩陣和半負定矩陣的準則。注意當 是半正定時,相應的格拉姆矩陣不必由線性獨立的向量組成。對於任意矩陣 必是半正定的,並有 (兩者的相等)。反過來,任意的半正定矩陣都可以寫作 ,這就是科列斯基分解

對於任意矩陣 ,因為 ,因此 是埃爾米特矩陣。令 ,則 ,因此 是半正定的。另外,我們很容易證明 有相同的零空間,根據秩 – 零化度定理,我們可以得到它們有相同的秩。

一個埃爾米特矩陣 是負定矩陣若且唯若 的所有奇數階順序主子式小於 ,所有偶數階順序主子式大於 。當 是負定矩陣時, 的逆矩陣也是負定的。

相關性質

為半正定矩陣,可以記作 。如果是正定矩陣,可以記作 。這個記法來自泛函分析,其中的正定矩陣定義了正算子。

對於一般的埃爾米特矩陣, 若且唯若 。這樣可以定義一個在埃爾米特矩陣集合上的偏序關係。類似地,可以定義

1. 每個正定陣都是可逆的,它的逆也是正定陣。如果 那麼
2. 如果 是正定陣, 為正實數,那麼 也是正定陣。

如果 是正定陣,那麼 都是正定的。如果 ,那麼 仍是正定陣。

3. 如果 那麼主對角線上的元素 為正實數。於是有 。此外還有
4. 矩陣 是正定陣若且唯若存在唯一的正定陣 使得 。根據其唯一性可以記作 ,稱 的平方根。對半正定陣也有類似結論。同時,如果 那麼
5. 如果 那麼 ,其中 表示克羅內克積
6. 對矩陣 ,將兩者同一位置上的係數相乘所得的矩陣記為 ,即 ,稱為阿達馬乘積。如果 ,那麼 。如果 實係數矩陣,則以下不等式成立:

7. 為埃爾米特矩陣。如果 (相應地,),那麼 (相應地,)。
8. 如果 為實係數矩陣,則
9. 如果 為實係數矩陣,那麼存在 使得 ,其中 單位矩陣

非埃爾米特矩陣的情況

一個實矩陣 可能滿足對於所有的非零實向量 ,卻不是對稱矩陣。舉例來說,矩陣

就滿足這個條件。對於 並且


一般來說,一個實係數矩陣 滿足對所有非零實向量 ,若且唯若對稱矩陣 是正定矩陣。

對於複系數矩陣,情況可能會不太一樣。主要考慮如何擴展 這一性質。要使得 總為實數,矩陣 必須是埃爾米特矩陣。因此,若 總是正實數, 必然是正定的埃爾米特矩陣。如果將 擴展為 ,則等價於 為正定矩陣。

參見

參考資料

  • Roger A. Horn and Charles R. Johnson. Matrix Analysis, Chapter 7. Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-30586-1 (hardback), ISBN 0-521-38632-2 (paperback).
  • Rajendra Bhatia. Positive definite matrices,. Princeton Series in Applied Mathematics, 2007. ISBN 978-0691129181.

外部連結