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正規族

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數學中,特別是應用於複分析,一個正規族normal family)是連續函數的一個預緊族。非正式地講,這意味著這一族中的函數不能擴展得太廣;它們以一種相對「緊緻」地方式集中在一起。理解函數空間中的緊子集是有廣泛意義的,因為它們通常自然是無窮維的。

更正式地,定義在某個完備度量空間 X 上取值於另一個完備度量空間 Y 的連續函數 f 的一個集合(有時稱為F 稱為正規的,如果 F 中每個函數序列包含一個子序列緊收斂到一個從 XY 的連續函數。

複分析

這個定義經常在複分析中用於全純函數空間。此時變為全純函數的一個序列,緊收斂到一個全純函數。所以可以將 X 換成複平面上一個區域,Y 為複平面自己,將連續換成全純,得到的定義是用於複分析中的版本。

這裡另一個常用的空間是亞純函數空間。這與全純類似,但收斂不是使用標準的度量而是使用球面度量。這就是如果 d 是球面度量,則要使

緊收斂,意味著

在任意緊子集上一致收斂到 0。

名稱

保羅·蒙泰爾於1912年發明了術語「正規族」[1]

注意到這是一個經典定義,儘管很常用,但與現代的名稱不一致。在現代語言中,我們在連續(全純)函數空間上可給定一個度量,在緊子集上相應的收斂,則可以說在這樣一個度量空間中的「函數預緊集合」而不是說「連續(全純)函數的正規族」。這增加了一般性,但使用起來變麻煩了,因為需要定義上面提到的度量。

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腳註

  1. ^ Reinhold Remmert, Leslie Kay. Classical Topics in Complex Function Theory. Springer. 1998: 154 [2009-03-01]. (原始內容存檔於2012-10-23). 

參考文獻

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