泊松李群 (Poisson-Lie group) 是一種幾何結構,也是李群和泊松流形,而且兩種結構自洽。它的李群直積
是泊松映射。它是經典力學和泊松幾何學的有力的例子,也是表示論研究對象之一。 它在無窮小尺度的形式就是李雙代數。
定義
泊松-李群是一個具有泊松括號的李群
,其群乘法定義為
,其中
為泊松映射,其中流形
賦予了乘積泊松流形的結構。
對於泊松李群,以下等式恆成立:
其中約定
是定義在泊松李群上的實數值的光滑函數,
為群中任意的元素,
為元素的左乘,
為元素的右乘。
記
為泊松李群
對應的泊松雙向量(Poisson bivector),上述恆等式有等價形式:
特別的,如果取
, 以上等式即為
。對單位元
使用韋恩斯坦分裂定理 (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)(Weinstein splitting theorem),可得知非平凡的泊松李群一定不具有辛結構,甚至不具有恆定的秩。
參考書目