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留數定理

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複分析中,留數定理,又叫殘數定理(英語:Residue theorem),是用來計算解析函數沿著閉曲線的路徑積分的一個有力的工具,也可以用來計算實函數的積分。它是柯西積分定理柯西積分公式的推論。

定理

假設複平面上的一個單連通開子集是複平面上有限個點,是定義在全純函數。如果是一條把包圍起來的可求長曲線,但不經過任何一個,並且其起點與終點重合,那麼:

如果γ是若爾當曲線,那麼I(γ, ak) = 1,因此:

在這裡,Res(f, ak)表示f在點ak留數,I(γ, ak)表示γ關於點ak卷繞數。卷繞數是一個整數,它描述了曲線γ繞過點ak的次數。如果γ依逆時針方向繞著ak移動,卷繞數就是一個正數,如果γ根本不繞過ak,卷繞數就是零。

例子

實軸上的積分

以下的積分

積分路徑

在計算柯西分布特徵函數時會出現,用初等微積分計算並不容易。我們把這個積分表示成一個路徑積分的極限,積分路徑為沿著實直線從−aa,然後再依逆時針方向沿著以0為中心的半圓從a到−a。取a為大於1,使得虛數單位i包圍在曲線裡面。路徑積分為:

由於eitz是一個整函數(沒有任何奇點),這個函數僅當分母z2 + 1為零時才具有奇點。由於z2 + 1 = (z + i)(zi),因此這個函數在z = iz = −i時具有奇點。這兩個點只有一個在路徑所包圍的區域中。

由於f(z)是

f(z)在z = i留數是:

根據留數定理,我們有:

路徑C可以分為一個「直」的部分和一個曲線弧,使得:

因此

如果t > 0,那麼當半圓的半徑趨於無窮大時,沿半圓路徑的積分趨於零:

上述結果也可以直接由Jordan引理英語Jordan%27s_lemma得到[1],要注意這裡的半圓弧上積分隨半徑增長趨於0必須要才能成立,所以如果就必須考慮下半平面上的半圓弧。

因此,如果t > 0,那麼:

類似地,如果曲線是繞過−i而不是i,那麼可以證明如果t < 0,則

因此我們有:

(如果t = 0,這個積分就可以很快用初等方法算出來,它的值為π。)

無窮級數

由於為整數時皆為一階極點,並且留數皆為,因此可以用來計算如下所示級數:

在此處令,並且令的正方形正向(逆時針)圍道(其中為整數),於是依留數定理:

時,等式左側由於而趨於零;另一方面:

其中有伯努利數

(實際上有)因此,,可以得出:

即為巴塞爾問題的證明之一。

參見

參考文獻

  1. ^ 史濟懷; 劉太順. 复变函数. 合肥: 中國科學技術大學出版社. 1998-12-01. ISBN 9787312009990. 

外部連結