磁通量,符號為
,是通過某給定曲面的磁場(亦稱為磁通量密度)的大小的度量。磁通量的國際單位制單位是韋伯。
描述
給定曲面上的磁通量大小與通過曲面的磁場線的個數成正比。此處磁場線的個數是個「淨」數量,即從一個方向上通過的個數減去另一個方向上通過的個數。當一個均勻磁場垂直通過一個平面,磁通量即是磁場與該平面面積的乘積。當均勻磁場
以任意角度通過一個平面,磁通量即是磁場與該平面面積
的點積。[1]
其中,
是磁場
和平面面積法向量
的夾角.
圖1:曲面積分的定義基於將曲面分割成小的曲面元。每個曲面元對應一個向量
。該向量的大小即曲面元的面積,方向為指向外部的法向量。
圖2:曲面法向量的向量場。
在一般情況下,磁通量是通過磁場在曲面面積上的積分定義的(見圖1和圖2)。
![{\displaystyle \Phi _{B}=\iint \limits _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4baada7a5fd435d0351d7e7112dbae2128e1fc34)
其中,
為磁通量,
為磁感應強度,
為曲面,
為點積,
為無窮小向量(見曲面積分)。
磁通量通常通過通量計進行測量。通量計包括測量線圈以及估計測量線圈上電壓變化的電路,從而計算磁通量。
通過閉曲面的磁通量
高斯磁定律是四條馬克士威方程式之一,指出通過一閉曲面的磁通量為零。這定律是依據還沒有發現磁單極這一經驗得出的。
高斯磁定律為,對任意閉曲面:
![{\displaystyle \Phi _{B}=\int \!\!\!\int \mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6379664bde9c8a9d94fba5e9a4ea66df93144723)
通過開曲面的磁通量
圖3:空間中的向量場F ( r, t )以及曲面Σ。∂Σ為曲面Σ的邊界,以速度v運動。考慮向量場在曲線∂Σ上的積分。
即使通過閉曲面的磁通量是零,通過開曲面的磁通量可以不是零,而且,它是電磁學中一個重要的物理量。例如,當通過一個導電線環的磁通量發生變化,這一變化會引起電動勢的生成,並因此在線環中產生電流。其關係式可由法拉第電磁感應定律得出:
![{\displaystyle {\mathcal {E}}=\oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {E} (\mathbf {r} ,\ t)+\mathbf {v\times B} (\mathbf {r} ,\ t)\right)\cdot d{\boldsymbol {\ell }}=-{d\Phi _{B} \over dt},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9796178ddaf9be301eaf7dac1cca2461e330817c)
其中(見圖3):
為電動勢
為通過開曲面的磁通量,這一開曲面的邊界為![{\displaystyle \partial \Sigma (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/312284199951d1667a23c3cb9dc08b46ee294ae0)
為一個隨時間變化的閉曲線
是邊界
無窮小向量元
是線段
的速度
為電場
為磁場
在上述公式中,電動勢的生成可以有兩種解釋:由勞侖茲力引起的電荷在閉合曲線
上的運動;通過開曲面
的磁通量。這一公式即是發電機的原理。
與電通量的比較
馬克士威方程式中的高斯電場定律為:
![{\displaystyle \Phi _{E}=\int \!\!\!\int _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {S} ={Q \over \epsilon _{0}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89615ac84287f984a2ac2d1efb69acb1834fc538)
其中
為電場
為任意閉曲面
為曲面
包圍的電荷
為真空電容率。
注意,通過閉曲面的
的通量「並不總是」零,這指出了電「單極」的存在,即自由的正負電荷。
磁通量的計算
磁通量Φ的表達式一、Φ=BSsinα其中α為磁場方向與平面夾角。 二、Φ=BScosα其中α為平面與平面在垂直於磁場方向上射影的夾角。 公式中磁通量的單位是馬克士威(Mx),磁感應強度B的單位是高斯(Gs)單位平方厘米,或者是特斯拉(T)單位是平方米。
參考文獻
- ^ Douglas C Giancoli. Physics for scientists & engineers : with modern physics. 培生集團. 2009: 第760頁. ISBN 0131578499.
外部連結
參見