舒爾引理

在數學中，舒爾引理（Schur's lemma）是群與代數的表示論中一個初等但非常有用的命題。在群的情形是說，如果M與N是群G的兩個有限維不可約表示，φ是從M到N的與群作用可交換的線性映射，那麼φ 可逆或φ = 0。一個重要的特例是M = N而φ是一個到自身的映射。這個引理以伊賽·舒爾（Issai Schur）命名，他使用這個引理證明了舒爾正交關係，奠定了有限群的表示論的基石。舒爾引理可推廣到李群與李代數，其形式由雅克·迪克斯米爾推導。

用模的語言表述

如果M與N是環R上兩個單模，則任何R-模同構f: M → N可逆或者為零。特別地，一個單環的自同態環是除環。

條件f是一個模的同構意味著：

$f(rm)=rf(m)$對所有$m$屬於$M$與$r$屬於$R$成立。

舒爾引理之群的版本是模版本的特例，因為群G的任何表示可等價地視為G的群環上的一個模。

舒爾引理經常用於下面這個特例。假設R是複數體C上的代數以及M = N是R上有限維模。那麼舒爾引理說模M的任何自同態要麼是由一個非零數量相乘給出，要麼是零。注意到在此時的前提下，除環中的任意元素f在M中存在特徵子空間，而該特徵子空間是R不變的，從而就是M，於是f屬於C。這便是說模M的自同態環是C，即「儘可能小」。更一般地，這個結論對任何代數封閉體上的代數以及至少是可數維單模也成立。如果體不是代數封閉的，自同態環儘可能小的情形是特別感興趣的：一個k-代數上的單模稱為絕對單如果其自同態環同構於k。這個條件一般強於是體k上的不可約模，意味著模甚至在k的代數閉包上也是不可約的。

矩陣形式

設G是一個複矩陣群，這意味著G是給定階數n的一個方塊矩陣集合，矩陣元素為複數，且G在矩陣乘法與取逆運算下封閉。另外，假設G是不可約的：沒有V非平凡的子空間（即不為{0}或整個空間）在G的作用下不變。換句話說，

如果對所有$g$屬於$G$有$gV\subseteq V$，則$V=\{0\}$或$V=\mathbb {C} ^{n}.$

在針對一個表徵時，舒爾引理斷言：如果A這個n階複矩陣可與G中所有矩陣交換，那麼A是一個對角矩陣。這個命題一個簡單的推論是阿貝爾群的任何不可約複表示都是一維的。

推廣到非單模

一個模版本的舒爾引理有所涉及模M不必單的推廣，他們描述了M的模理論性質與M的同態環之間的關係。

一個模稱為絕對不可分解如果其同態環是一個局部環。對最重要的一類有限長模，下列性質是等價的（Lam 2001，§19）：

• 模M 不可分解；
• M強不可分解；
• M的任何自同態要麼是冪零的要麼可逆。

一般來說，舒爾引理的逆命題不成立：存在非單模，它們的自同態代數是除環。這樣的模必然是不可分解的，從而不能在半單環（比如有限群的復群環）上存在。但是，即使在整數環上，有理數模的自同構模是一個除環，即有理數體。甚至對群環，存在例子使得體的特徵整除群的階數：五個點的交錯群在三個元素的體上的一維表示的射影覆蓋的雅克布森根的同態環是三個元素的體。

參考文獻

• David S. Dummit, Richard M. Foote. Abstract Algebra. 2nd ed., pg. 337.
• Lam, Tsit-Yuen（林節玄）, A First Course in Noncommutative Rings, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2001, ISBN 978-0-387-95325-0