色散關係
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在物理科學和電機工程學中,色散關係描述波在介質中傳播的色散現象的性質。色散關係將波的波長或波數與其頻率建立了聯繫。由這組關係,波的相速度和群速度有了方便的確定介質中折射率的表達式。克拉莫-克若尼關係式可以描述波的傳播、衰減的頻率依賴性,這關係比與幾何相關和與材料相關的色散關係更具一般性。
色散的原因可能是幾何邊界條件(波導、淺水)或是波與傳輸介質間的交互作用。基本粒子(被認為是物質波)即使在沒有集合約束和其他介質存在下也會有非平凡的色散關係。
在存在色散的情況下,波速不再唯一定義,從而產生了相速度和群速度的區別。
色散
當不同波長的平面波表現出不同的傳播速度時,色散會發生,如此造成混合各種波長的波包漸漸地在空間中擴展開來。平面波的速率v為波長的函數:
- 。
波速、波長、頻率f之間具有恆等式:
- 。
函數f(λ)指出了該介質中的色散關係。色散關係更常用角頻率與波數來表示。上述式子可改寫為
- 。
在此ω成為k的函數。使用ω(k)來描述色散關係已經成為一種標準寫法,因為相速度 ω/k 與群速度 ∂ω/∂k 可以輕鬆地從這樣寫法的色散關係中求得。
因此所關注的平面波可寫為如下數學式:
- ,
其中
- A是波的振幅,
- A0 = A(0,0),
- x是波傳遞方向上的任一特定位置,以及
- t是描述波的任一特定時間。
真空中的平面波
真空中的平面波是波傳遞最簡單的例子:無幾何上的限制,無傳導介質的交互作用。
電磁波
對真空中的電磁波而言,角頻率與波數呈正比:
- 。
這是「線性」的色散關係。在此情形下,相速度與群速度乃是相同的:
- ;
兩者皆為c,真空中的光速,為與頻率無關的常數。
德布羅意色散關係
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其中是靜質量。
當靜質量m為零時,比如光子的例子:
- 。
又靜質量不為零的粒子,當其接近光速時,pc項遠大於mc2項,因此關係式可趨近於E = pc。其在非相對論極限,也就是速度遠小於光速c的情形,可趨近於如下關係式:
從近光速的例子過渡到低速度極限,可看到E與p的關係是從p轉成p2,在垂直軸跟水平軸皆取對數log的色散關係圖中可看出斜率的改變。
基本粒子、原子核、原子,甚至是分子,皆有物質波的波動表現。根據描述物質波的「德布羅意關係」,能量E與角頻率ω之間以及動量p與波數k之間皆為正比關係,比值為約化普朗克常數ħ:
- 。
相應地,角頻率與波數之間也可透過色散關係連結。在非相對論極限(低速度極限的牛頓力學)條件下,利用能量(動能)與動量的關係式:
此處省去常數mc2的效應。等式左右分別代入德布羅意關係,可得色散關係:
- 。
動畫:電子的相速度與群速度 此動畫描繪了三顆(慢速度)自由電子以德布羅意相速度與群速度行經了寬度為0.4Å的區域。每單位質量的動量,稱為固有速度。中間電子的固有速度為光速c,其群速度則為0.707 c;上方電子則有中間電子的兩倍動量,下方電子則有中間電子的一半動量。注意到:當動量增加時,相速度下降到c,而群速度增加到c,而波包與相位峰值兩者以接近c的速度一同移動;在此同時,波長的下降則無下限值。實驗室中,這類高能電子的橫向與縱向的同調寬度(波包大小)可比此處粒子大上好幾個數量級。
頻率與波數的關係
當討論到介質的折射性質而不是吸收性質,亦即關注焦點為折射率的實部,則常會提及「色散關係」—角頻率與波數的函數關係。在粒子的情形,改由相對應的能量與動量的函數關係來描述。
波動與光學
「色散關係」一詞源自於光學。讓光穿過折射率不為常數的介質則有辦法使得光速與波長相依;另外的方法是使用非均勻介質中的光,比如波導。在此情形下,波形會隨著時間擴展開來,窄脈衝波會變成較寬的脈衝波。在這些材料中,為群速度[2],對應到脈衝包絡線峰值的傳遞速度,並與相速度不同。[3]
深水波
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深水波的色散關係常寫為
- ,
其中g是重力造成的加速度。深水的常見定義為水深大於波長之半[4]。在此情形下,相速度為
- ,
而群速度為
弦波
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對一條理想弦而言,色散關係可寫為
- ,
其中T為弦的張力,μ為弦每單位長度的質量。
如同真空中的電磁波,理想弦為非色散介質,其相速度與群速度相等,並且與振動頻率無關。
至於非理想弦則需考量到硬度的影響,色散關係變為
- ,
其中是與弦有關的常數。
固態物理
在固態物理領域,電子的色散關係佔有重要的角色。晶體的週期性意味著:對一給定的動量存在有多種可能的能階,而有些則是不論什麼樣的動量都不可能會具有的能量。所有可能的能量與動量的組合即為一物質的能帶結構。能帶結構的性質定義了一物質是絕緣體、半導體,抑或是導體。
聲子
聲子之於聲波一如光子之於光波:其為攜帶波動能量的量子。聲子的色散關係也是重要且非平凡的。許多系統都顯示出聲子存在於兩個分離的能帶。聲子尚可分為光學聲子支與聲學聲子支。
電子顯微術
關於穿透式電子顯微鏡中的高能電子(例如200 keV),收斂束電子繞射(Convergent beam electron diffraction, CBED) 型態在高階勞厄區(higher order Laue zone, HOLZ)譜線的能量相依性,允許研究者能對晶體三維色散表面的橫斷面做直接「成像」[5]。這種動態效應可用於晶格參數的準確測量、電子束能量,近期更應用在電子業上。
歷史
艾薩克·牛頓研究過稜鏡的折射現象。然而牛頓卻沒有認出色散關係與不同材料的相關性;假使有認出,他則可能發明出消色差透鏡。[6]
水波的色散關係是由皮埃爾-西蒙·拉普拉斯於1776年研究得到。[7]
在幾篇舉足輕重的論文中,色散關係與各種波及粒子散射理論中的因果律被連繫了起來,使得克拉莫-克若尼關係式(1926年-1927年間)的通則變得重要。[8]
參見
參考文獻
- ^ Taylor. Classical Mechanics. University Science Books. 2005: 652. ISBN 1-891389-22-X.
- ^ F. A. Jenkins and H. E. White. Fundamentals of optics. New York: McGraw-Hill. 1957: 223. ISBN 0-07-032330-5.
- ^ R. A. Serway, C. J. Moses and C. A. Moyer. Modern Physics. Philadelphia: Saunders. 1989: 118. ISBN 0-534-49340-8.
- ^ R. G. Dean and R. A. Dalrymple. Water wave mechanics for engineers and scientists. Advanced Series on Ocean Engineering 2. World Scientific, Singapore. 1991. ISBN 978-981-02-0420-4. See page 64–66.
- ^ P. M. Jones, G. M. Rackham and J. W. Steeds. Higher order Laue zone effects in electron diffraction and their use in lattice parameter determination. Proceedings of the Royal Society. 1977, A 354: 197.
- ^ Westphal, Never at rest cited from memory. Quite a funny anecdote, worth looking up: Newton dismissed reports of refraction indices at variance from his own because the author was a Jesuit.
- ^ A.D.D. Craik. The origins of water wave theory. Annual Review of Fluid Mechanics. 2004, 36: 1–28. Bibcode:2004AnRFM..36....1C. doi:10.1146/annurev.fluid.36.050802.122118.
- ^ John S. Toll. Causality and the dispersion relation: Logical foundations. Phys. Rev. 1956, 104 (6): 1760–1770. Bibcode:1956PhRv..104.1760T. doi:10.1103/PhysRev.104.1760.
外部連結
- Poster on CBED simulations to help visualize dispersion surfaces, by Andrey Chuvilin and Ute Kaiser
- Angular frequency calculator