萊維過程(Lévy process)源於法國數學家保羅·皮埃爾·萊維,是連續時間上的一種擁有獨立穩定增量的左極限右連續(Càdlàg)的隨機過程。著名的例子有維納過程和泊松過程。
定義
一個隨機過程
是一個萊維過程如果符合以下條件:
幾乎確定。
- 獨立增量:對任何
,
相互獨立。
- 穩定增量:對任何
,
與
有相同分布
is 幾乎確定右連左極.
性質
獨立增量
設Xt是一個連續時間上的隨機過程。也就是說,對於任何固定的t ≥ 0,Xt是一個隨機變量。過程的增量為差值Xs − Xt(任意的時間t < s)。 獨立增量意味著對於任何時間s > t > u > v,Xs − Xt和Xu − Xv相獨立。
穩定增量
如果增量Xs − Xt的分布只依賴於時間間隔s − t,則稱增量是穩定的。
例如,對於維納過程,增量Xs − Xt服從均值為0,方差為s − t的常態分布。
對於泊松過程,增量Xs − Xt服從指數為s − t的泊松分布
可分性
萊維過程與無限可分分布有關:
- 增量的分布是無窮可分的。即對任意給定的n,Xt的分布可以表示為n個與Xt/n同分布的隨機變量的和的分布。
- 反之,對於每個無窮可分的分布,可以構造出一個與之對應的Lévy過程。
矩
當萊維過程的n階矩
存在有限時, 它滿足二項式等式:
![{\displaystyle \mu _{n}(t+s)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\mu _{k}(t)\mu _{n-k}(s).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de4a0678b37ad29d728cea08ee6f90cfc5ec4c6a)
例子
維納過程
定義
X為維納過程(或者標準布朗運動) 若且唯若
- 對任何
, 隨機變量
服從常態分布
,
- 它的軌跡是幾乎處處連續的;即, 對於幾乎所有的事件
,關於t的函數
是連續的。
性質
![{\displaystyle \mathbb {E} {\Big [}e^{i\theta X_{t}}{\Big ]}=\exp \left(-{\frac {1}{2}}t\theta ^{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da7be253834d3cd383fd8def1d94b8bd2bab04df)
其他性質可參考詞條布朗運動。
複合泊松過程
定義
X為一個實參數為
,測度為
複合泊松過程若且唯若它的傅立葉變換為:
.
性質
- 參數為
,測度為Dirac測度
的複合泊松過程為泊松過程.
- 設N為參數為
的泊松過程,
為一個隨機漫步(
的分布為
),那麼
為一個複合泊松過程。
參閱
參考來源
翻譯自英語、法語版維基詞條。
Ken-iti Sato. Lévy Processes and Infinitely Divisible Distributions,Cambridge University Press, 1999