赫爾德不等式

赫爾德不等式是數學分析的一條不等式，取名自德國數學家奧托·赫爾德。這是一條揭示L^p空間的相互關係的基本不等式：

設$S$為測度空間，$1\leq p,q\leq \infty$，及${1 \over p}+{1 \over q}=1$，設$f$在$L^{p}(S)$內，$g$在$L^{q}(S)$內。則$f{\mbox{ }}g$在$L^{1}(S)$內，且有

$\|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q},$

等號若且唯若$|f|^{p}$與$|g|^{q}$（幾乎處處）線性相依時取得，即有常數$\alpha ,\beta$使得$\alpha |f(x)|^{p}=\beta |g(x)|^{q}$對幾乎所有$x\in S$成立。

若$S$取作$\{1,...,n\}$附計數測度，便得赫爾德不等式的特殊情形：對所有實數（或複數）$x_{1},{\mbox{ }}...,{\mbox{ }}x_{n};{\mbox{ }}y_{1},{\mbox{ }}...,{\mbox{ }}y_{n}$，有

$\sum _{k=1}^{n}|x_{k}y_{k}|\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{q}\right)^{1/q}$。

我們稱p和q互為赫爾德共軛。

若取$S$為自然數集附計數測度，便得與上類似的無窮級數不等式。

當$p=q=2$，便得到柯西-施瓦茨不等式。

赫爾德不等式可以證明$L^{p}$空間上一般化的三角不等式，閔可夫斯基不等式，和證明$L^{p}$空間是$L^{q}$空間的對偶。

備註

• 在赫爾德共軛的定義中，1/∞意味著零。

• 如果1 ≤ p，q < ∞，那麼||f ||_p和||g||_q表示（可能無窮的）表達式：

${\biggl (}\int _{S}|f|^{p}\,\mathrm {d} \mu {\biggr )}^{1/p}$   以及   ${\biggl (}\int _{S}|g|^{q}\,\mathrm {d} \mu {\biggr )}^{1/q}.$

• 如果p = ∞，那麼||f ||_∞表示|f |的本性上確界，||g||_∞也類似。

• 在赫爾德不等式的右端，0乘以∞以及∞乘以0意味著 0。把a > 0乘以∞，則得出 ∞。

證明

赫爾德不等式有許多證明，主要的想法是楊氏不等式。

如果||f ||_p = 0，那麼f μ-幾乎處處為零，且乘積fg μ-幾乎處處為零，因此赫爾德不等式的左端為零。如果||g||_q = 0也是這樣。因此，我們可以假設||f ||_p > 0且||g||_q > 0。

如果||f ||_p = ∞或||g||_q = ∞，那麼不等式的右端為無窮大。因此，我們可以假設||f ||_p和||g||_q位於(0,∞)內。

如果p = ∞且q = 1，那麼幾乎處處有|fg| ≤ ||f ||_∞ |g|，不等式就可以從勒貝格積分的單調性推出。對於p = 1和q = ∞，情況也類似。因此，我們還可以假設p, q ∈ (1,∞)。

分別用f和g除||f ||_p||g||_q，我們可以假設：

$\|f\|_{p}=\|g\|_{q}=1.$

我們現在使用楊氏不等式：

$ab\leq {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}},$

對於所有非負的a和b，若且唯若a^p = b^q時等式成立。因此：

$|f(s)g(s)|\leq {\frac {|f(s)|^{p}}{p}}+{\frac {|g(s)|^{q}}{q}},\qquad s\in S.$

兩邊積分，得：

$\|fg\|_{1}\leq 1,$

這便證明了赫爾德不等式。

在p ∈ (1,∞)和||f ||_p = ||g||_q = 1的假設下，等式成立若且唯若幾乎處處有|f |^p = |g|^q。更一般地，如果||f ||_p和||g||_q位於(0,∞)內，那麼赫爾德不等式變為等式，若且唯若存在α, β > 0（即α = ||g||_q且β = ||f ||_p），使得：

$\alpha |f|^{p}=\beta |g|^{q}\,$   μ-幾乎處處   (*)

||f ||_p = 0的情況對應於(*)中的β = 0。||g||_q =0 的情況對應於(*)中的α = 0。

反向赫爾德不等式

當$0<p<1$時，$\|\cdot \|_{p}$不再滿足三角不等式，此時成立反向赫爾德不等式(Reverse Hölder inequality):

$\|fg\|_{1}\geq \|f\|_{p}\|g\|_{q}$

參考文獻

• Hardy, G.H.; Littlewood, J.E.; Pólya, G., Inequalities, Cambridge Univ. Press, 1934, ISBN 0521358809 
• Hölder, O., Ueber einen Mittelwerthsatz, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, 1889: 38–47 
• Kuptsov, L.P., Hölder inequality, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Rogers, L J., An extension of a certain theorem in inequalities, Messenger of math, 1888, 17: 145–150 
• Kuttler, Kenneth, An introduction to linear algebra (PDF), Online e-book in PDF format, Brigham Young University, 2007 [2009-02-02], （原始內容存檔 (PDF)於2008-08-07） 
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• 張願章. Young不等式的证明及应用. 河南科學. 2004年 第01期, 第22卷. ISSN 1004-3918.