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電磁波方程式

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電磁學裏,電磁波方程式(英語:Electromagnetic wave equation)乃是描述電磁波傳播於介質真空的二階微分方程式。電磁波的波源是局域化的含時電荷密度電流密度,假若波源為零,則電磁波方程式約化為二階齊次微分方程式英語homogeneous differential equation。這方程式的形式,以電場磁場來表達為

其中,拉普拉斯算符是電磁波在真空或介質中傳播的速度,時間

由於光波就是電磁波,也是光波傳播的速度,稱為光速。在真空裏, [公尺/秒],是電磁波傳播於自由空間的速度。

歷史

詹姆斯·馬克士威的1864年論文《電磁場的動力學理論》內,馬克士威將位移電流與其它已成立的電磁方程式合併,因而得到了描述電磁波的波動方程式。最令人振奮的是,這方程式所描述的波動的波速等於光波的速度。他這樣說[1]

這些殊途一致的結果,似乎意味著光波與電磁波都是同樣物質的屬性,並且,光波是按照著電磁定律傳播於電磁場的電磁擾動。
— 詹姆斯·馬克士威

理論推導

在真空裏,馬克士威方程組的四個微分方程式為

(1)
(2)
(3)
(4)

其中,真空磁導率真空電容率

分別取公式(2)、(4)的旋度

應用一則向量恆等式(這裏,應被理解爲對V的每個分量取拉普拉斯算子,卽拉普拉斯–德拉姆算子

其中,是任意向量函數。

將公式(1)、(3)代入,即可得到亥姆霍茲方程式形式的波動方程式:

(5)
(6)

其中, [公尺/秒]是電磁波傳播於自由空間的速度。

齊次的波動方程式的協變形式

電磁四維勢是由電位向量勢共同形成的,定義為

採用勞侖次規範

前述那些齊次的波動方程式(5)、(6),可以按照反變形式寫為

其中,達朗貝爾算子,又稱為四維拉普拉斯算子

彎曲時空中的齊次的波動方程式

齊次的電磁波方程式在彎曲時空中需要做兩處修正,分別是將偏導數替換為協變導數,以及增加了一項有關時空曲率的項。假設勞侖次規範在彎曲時空中的推廣為

那麼,彎曲時空中的齊次的波動方程式為

其中,里奇曲率張量

非齊次的電磁波方程式

追根究底,局域化的含時電荷密度電流密度是電磁波的波源。在有波源的情形下,馬克士威方程組可以寫成一個非齊次的電磁波方程式的形式。正是因為波源的存在,使得偏微分方程式變為非齊次。

波動方程式的解

在齊次的電磁波方程式中,電場和磁場的每一個分量都滿足純量波動方程式

(7)

其中,是任意良態函數,

純量波動方程式的一般解的形式為

其中,是任意良態函數,位置向量是時間,波向量角頻率

函數描述一個波動,隨著時間的演化,朝著的方向傳播於空間。將函數代入純量波動方程式(7),可得到角頻率與波數色散關係

或者,角頻率一定大於零,但波數可以是負值:

正弦波

正弦函數餘弦函數的曲線是不同相位的正弦曲線。

假設,函數的波形為正弦波

其中,是實值波幅初相位

根據歐拉公式

函數也可以表達為一個複數的實值部分

以上方加有波浪號的符號來標記複值變數。設定複值函數

其中,是複值波幅

那麼,

純量波動方程式的正弦波解的形式為的實值部分。任意涉及實函數線性方程式,都可以用複函數來代替。最後得到的複值答案,只要取實值部分,就可以得到描述實際物理的答案。但是,當遇到非線性方程式,必須先轉換為實值函數,才能夠確保答案的正確性。

由於指數函數三角函數容易計算,在很多場合,都可以使用這技巧。

線性疊加

任意波動可以表達為一個無限集合的不同頻率的正弦波的線性疊加

所以,只要能得知單獨頻率的波動單色波)的表達式,就可以求算整個波動的表達式。

齊次的電磁波方程式的解

單色正弦平面波的解

電磁波是橫波,電場方向與磁場方向相互垂直,又都垂直於傳播方向。

從前面的分析,可以猜到齊次的電磁波方程式的單色正弦平面波的解為:

其中,分別為複值電場和複值磁場的複常數振幅向量。

這兩個方程式顯示出正弦平面波的傳播方向是的方向。由於方程式(1)和(3),

電場和磁場垂直於波向量,波動傳播的方向。所以,電磁波是橫波

由於法拉第電磁感應定律方程式(2),

將角頻率與波數的色散關係式帶入:

所以,電場與磁場相互垂直於對方;磁場的大小等於電場的大小除以光速。

電磁波譜分解

電磁波譜顯示出不同種類的電磁波的頻率值域和波長值域。可見光譜只佔有寬廣的電磁波譜的一小部分。

由於馬克士威方程組在真空裡的線性性質,其解答可以分解為一集合的正弦波。將這集合的正弦波的疊加在一起,又可以形成原本的解答。這是傅立葉變換方法解析微分方程式的基礎概念。電磁波方程式的正弦波解的形式為

波向量與角頻率的關係為

其中,波長

按照波長長短,從長波開始,電磁波可以分類為電能無線電波微波紅外線可見光紫外線X-射線伽馬射線等等。普通實驗使用的光譜儀就足以分析從2  奈米到2500 奈米波長的電磁波。使用這種儀器,可以得知物體、氣體或甚至恆星的詳細物理性質。這是天文物理學的必備儀器。例如,氫原子會發射波長為21.12公分的無線電波。

圓柱對稱性解

原柱對稱形共軸傳輸線

如圖右,思考一條由半徑為的無窮長的直導線,和半徑為的無窮長的圓柱導電管,所組成的共軸傳輸線。假設這傳輸線與z-軸平行。由於共軸傳輸線的內部有一條直導線,不是空心的,它可以傳輸的電磁橫波,採用圓柱坐標,在傳輸線的內部空間,電場和磁場分別為[2]

這一組方程式顯示出電磁波方程式的圓柱對稱性解的一種形式。

球對稱性解

思考一個位於原點的振盪中的磁偶極矩。這磁偶極矩會發射出電磁波,從原點往無窮遠輻射出去。採用球坐標,則在離原點很遠的位置,電場和磁場分別為[2]

這是一組滿足電磁波方程式的球面波方程式。

參閱

理論與實驗

應用領域

參考文獻

  1. ^ 馬克士威, 詹姆斯, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field (PDF): pp. 499, 1864 [2009-12-15], (原始內容存檔 (PDF)於2011-07-28) 
  2. ^ 2.0 2.1 Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 411–412, 451–453. ISBN 0-13-805326-X.