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馬尤厄-嘉當形式

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數學上,一個李群GMaurer-Cartan形式是一個特別的微分形式,它包含關於這個李群的結構的基本的無窮小信息。它被埃里·嘉當多次使用,作為他的移動標架法的基本組成。

是李群在么元的切空間(它的李代數)。G可以由左平移作用在自身

,

這個誘導出切叢到自身的一個映射

.

一個左移不變向量場的一個截面,使得

Maurer-Cartan形式 是在g值(在g中取值)的G上的1形式,根據公式作用在向量上。 若X是G上的左移不變向量場,則在G為常數。而且,若X和Y都是左移不變,則

其中左邊的括號為向量場的李括號,而右邊的括號為李代數g的李括號。(這可以作為g上的李括號的定義。)這些事實可以用來建立李代數的同構

G上的左移不變向量場 .

根據微分的定義,若X和Y為任意向量場,則

.

實用上,若X和Y為左移不變,則

,

所以

但是左邊只是一個2-形式(其值只和X,Y在一點的取值有關,所以跟X,Y作為場在周圍的變化無關),所以方程不依賴於X和Y是左移不變的條件。所以這個方程對所有向量場X和Y成立。這被稱為Maurer-Cartan方程.

如果G嵌入到GL(n,R),則可以把的公式顯式的寫成

若我們在李群G上引入主叢,並把G上的左作用定義為變換函數,則聯絡形式平坦的。實際上

和Maurer-Cartan方程完全一致。