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Kalman–Yakubovich–Popov引理

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Kalman–Yakubovich–Popov引理(Kalman–Yakubovich–Popov lemma)是系統分析英語system analysis控制理論的結果,其中提到:給定一數,二個n維向量B, C,及n x n的赫維茲穩定矩陣 A(所有特徵值的實部都為負值),若具有完全可控制性,則滿足下式的對稱矩陣P和向量Q

存在的充份必要條件是

而且,集合的不可觀測子空間。

此引理可以視為是穩定性理論李亞普諾夫方程的推廣。建構了由狀態空間A, B, C建構的線性矩陣不等式以及其頻域條件的關係。

Kalman–Popov–Yakubovich引理最早是在1962年由Vladimir Andreevich Yakubovich英語Vladimir Andreevich Yakubovich寫出且證明[1],當時列的是嚴格的頻率不等式。允許等於的不等式是由魯道夫·卡爾曼在1963年提出[2]。在該文中也建立了Lur'e方程可解性的關係。兩篇都是針對純量輸入系統。其控制維度的限制是在1964年被Gantmakher和Yakubovich放寬的[3],而Vasile M. Popov英語Vasile Mihai Popov也獨立得到相同結論[4]。在[5]中有針對此一主題的廣泛探討。

多變數Kalman–Yakubovich–Popov引理

給定,其中 針對所有,且有可控制性,則以下的敘述是等價的:

  1. 針對所有
  2. 存在一矩陣使得

即使不具有可控制性,對應上式的嚴格不等式仍成立[6]

參考資料

  1. ^ Yakubovich, Vladimir Andreevich. The Solution of Certain Matrix Inequalities in Automatic Control Theory. Dokl. Akad. Nauk SSSR. 1962, 143 (6): 1304–1307. 
  2. ^ Kalman, Rudolf E. Lyapunov functions for the problem of Lur'e in automatic control (PDF). Proceedings of the National Academy of Sciences. 1963, 49 (2): 201–205 [2019-01-04]. PMC 299777可免費查閱. doi:10.1073/pnas.49.2.201. (原始內容存檔 (PDF)於2015-09-24). 
  3. ^ Gantmakher, F.R. and Yakubovich, V.A.,. Absolute Stability of the Nonlinear Controllable Systems, Proc. II All-Union Conf. Theoretical Applied Mechanics. Moscow: Nauka. 1964. 
  4. ^ Popov, Vasile M. Hyperstability and Optimality of Automatic Systems with Several Control Functions. Rev. Roumaine Sci. Tech. 1964, 9 (4): 629–890. 
  5. ^ Gusev S. V. and Likhtarnikov A. L. Kalman-Popov-Yakubovich lemma and the S-procedure: A historical essay. Automation and Remote Control. 2006, 67 (11): 1768–1810. 
  6. ^ "Anders Rantzer". On the Kalman–Yakubovich–Popov lemma. Systems & Control Letters. 1996, 28 (1): 7–10. doi:10.1016/0167-6911(95)00063-1.