计数测度

在测度论中，计数测度是可以定义在任意集合上的测度，它将每个集合含有的元素个数作为这个集合的测度。准确来说，对于任何一个可测空间 $\left(\Omega ,{\mathcal {F}}\right)$ ，我们都可以定义这个可测空间上的测度 $\mu$ ，使得对于任意可测集 $E\in {\mathcal {F}}$ ， $\mu (E)$ 就是集合 $E$ 中含有的元素个数，即

$\mu (E)={\begin{cases}\vert E\vert &\vert E\vert <\infty ,\\+\infty &\vert E\vert =+\infty .\end{cases}}$

这里 $\vert E\vert$ 表示集合的基数。^[1]

特别地，可测空间 $(\Omega ,{\mathcal {F}})$ 上的计数测度是σ-有限的当且仅当 $\Omega$ 是可数集。^[2]

参考文献

^ Schilling, René L. Measures, Integral and Martingales. Cambridge University Press. 2005: 27. ISBN 0-521-61525-9.
^ Hansen, Ernst. Measure Theory (Fourth ed.). University of Copenhagen. 2009: 47. ISBN 978-87-91927-44-7.

[1] Schilling, René L. Measures, Integral and Martingales. Cambridge University Press. 2005: 27. ISBN 0-521-61525-9.

[2] Hansen, Ernst. Measure Theory (Fourth ed.). University of Copenhagen. 2009: 47. ISBN 978-87-91927-44-7.

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