矛盾
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在传统逻辑学中,如果一个命题与自身或既定事实相冲突,则称之为矛盾(英语:contradiction,又称恒假)。这种情况经常用来发现人们的不诚实信念或偏见。亚里士多德提出的无矛盾律,进一步说明了应用逻辑的普遍原则,即一件事物不可能在同一时间对于相同的对象同时为是与非[1]。
在当代的形式逻辑和类型论领域,“矛盾”一词专指某个特定的命题,通常使用伪符号()来表示。根据逻辑规则,如果一个命题能导出“假”,则该命题被视为矛盾,亦即它是一个永远不成立的命题(也就是说,自我矛盾的论述)[2][3]。这个概念可以延伸应用到一系列的论述上,这时可以说这一系列论述中“包含有”矛盾。
词源
汉语辞源出自《韩非子》中《难一》所述故事:
“ | 楚人有鬻盾与矛者,誉之曰:“吾盾之坚,物莫能陷之。”以誉其矛曰:“吾矛之利,于物无不陷也。”或曰:“以子之矛陷子之盾,何如?”其人弗能应也。夫不可陷之盾与无不陷之矛,不可同世而立。 | ” |
白话文大意为:有一位卖盾牌和卖矛的楚国人,他赞誉自己卖的盾牌说:“我的盾牌坚固无比,任何物件都无法刺穿它。”又夸赞自己卖的矛说:“我的矛锋利无比,于任何物件都可以刺穿。”有人问他说:“用你的矛来试着刺你的盾,将会如何?”其人一句话都无法回应。不能被刺穿的盾牌和能刺穿一切的矛,是不可以同时存在。
日本明治时代哲学家井上哲次郎首次翻译西文中的“contradiction”为“矛盾”。
逻辑学上的矛盾
逻辑学上,矛盾、自相矛盾或抵触(contradiction)被更加特殊化的定义为同时断言一个命题和它的否定。这个想法基于亚里士多德的无矛盾律,它声称“你不能同时声称某事物在同一方面既是又不是”。
当我们说命题S与P矛盾时,意思是二者相当于A和非A的关系,也就是S与P不能同时为真、亦不能同时为假。
举例来说:“所有学生都用功”和“有些学生不用功”就是在逻辑上矛盾;另一个例子是“死刑已被废除,严格禁止包括谋杀在内的任何罪行使用死刑;但为了受害者着想及平衡各方意见,若谋杀受害者家属强烈主张凶手必须以死谢罪,政府有义务协助受害者家属以最快的速度让罪犯接受死亡”,在其中“死刑已被废除”代表的就是“这个国家没有死刑”,而“若谋杀受害者家属强烈主张凶手必须以死谢罪,政府有义务协助受害者家属以最快的速度让罪犯接受死亡”则指向“这个国家有死刑”这点,显然一个国家或地区不可能同时有死刑又没有死刑,此种法律是自相矛盾。
习惯上说的矛盾其实是指逻辑学上的不一致,矛盾必然不一致,然而不一致不必然矛盾。
利用矛盾的证明
在演绎逻辑和数学中,矛盾通常作为有什么东西错误了的迹象,你需要折回你的推理的步骤并"检查你的前提"。这在数学中的反证法中发挥了巨大的作用:因为矛盾永远不能为真,所以它永远不能是有着全部为真的前提的有效论证的结论。要构造一个利用矛盾的证明,你需要从一组前提构造一个有效的论证,得出是逻辑矛盾的一个结论。因为结论为假,并且论证是有效的,唯一的可能性是一个或多个前提为假。在很多关键的数学证明中使用了这种方法,比如欧几里得对没有最大素数的证明,和康托尔对在0和1之间有不可数个实数的对角线证明。
涉及矛盾的悖论
矛盾同许多有名的悖论有关。其中之一是在一阶谓词演算中从矛盾中可以推导出任何命题(也叫陈述)。换句话说,依据谓词演算,不管P和Q意味着什么,如果P和¬P都为真的,则Q为真。在这个事实的表达中,矛盾被称为在一阶逻辑中的"逻辑爆炸"。
例如,下列论证是严格有效,就是说前提在逻辑上蕴涵结论:
下面的论证也是有效的:
- 前提: 5既是偶数又是奇数。(就是P ∧ ¬P)。
- 结论:神不存在。(就是¬Q)。
注意这两个论证共有的前提是错误的;5是奇数而不是偶数。所以此等论证都不是可靠,这意味着它们都没有为信赖它的结论给出一个逻辑基础。
可能大多数人认为这是怪异的,如果5既是偶数又是奇数,就能够在逻辑上得出明显的不相关的任何事情比如 神的存在性的结论。更加怪异的是,这个悖论还蕴涵了,如果一个人有是矛盾的任何两个信仰,则这个人在逻辑上证实任何可想像到的信仰。
这个悖论的证明
即使谓词演算的基本规则对于好的推理方式都是可靠的,它们在一起就会蕴涵这个悖论。有两个方法证明它。
第一个方法来自合取和蕴涵的真值表定义:
- (P ∧ ¬P)为假。
- 所以,(P ∧ ¬P) → Q为空虚真理。
第二个方法基于真值表的在美学上的缺陷:
- 假设P ∧ ¬P。基于这个假定我们可以推导出:
- 所以 (P ∧ ¬P) → Q(条件证明)
参考文献
- ^ Horn, Laurence R., Contradiction, Zalta, Edward N. (编), The Stanford Encyclopedia of Philosophy Winter 2018, Metaphysics Research Lab, Stanford University, 2018 [2019-12-10]
- ^ Contradiction (logic). TheFreeDictionary.com. [2020-08-14].
- ^ Tautologies, contradictions, and contingencies. www.skillfulreasoning.com. [2020-08-14].
参见
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