矛盾
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在傳統邏輯學中,如果一個命題與自身或既定事實相衝突,則稱之為矛盾(英語:contradiction,又稱恆假)。這種情況經常用來發現人們的不誠實信念或偏見。亞里斯多德提出的無矛盾律,進一步說明了應用邏輯的普遍原則,即一件事物不可能在同一時間對於相同的對象同時為是與非[1]。
在當代的形式邏輯和類型論領域,「矛盾」一詞專指某個特定的命題,通常使用偽符號()來表示。根據邏輯規則,如果一個命題能導出「假」,則該命題被視為矛盾,亦即它是一個永遠不成立的命題(也就是說,自我矛盾的論述)[2][3]。這個概念可以延伸應用到一系列的論述上,這時可以說這一系列論述中「包含有」矛盾。
詞源
漢語辭源出自《韓非子》中《難一》所述故事:
“ | 楚人有鬻盾與矛者,譽之曰:「吾盾之堅,物莫能陷之。」以譽其矛曰:「吾矛之利,於物無不陷也。」或曰:「以子之矛陷子之盾,何如?」其人弗能應也。夫不可陷之盾與無不陷之矛,不可同世而立。 | ” |
白話文大意為:有一位賣盾牌和賣矛的楚國人,他讚譽自己賣的盾牌說:「我的盾牌堅固無比,任何物件都無法刺穿它。」又誇讚自己賣的矛說:「我的矛鋒利無比,於任何物件都可以刺穿。」有人問他說:「用你的矛來試著刺你的盾,將會如何?」其人一句話都無法回應。不能被刺穿的盾牌和能刺穿一切的矛,是不可以同時存在。
日本明治時代哲學家井上哲次郎首次翻譯西文中的「contradiction」為「矛盾」。
邏輯學上的矛盾
邏輯學上,矛盾、自相矛盾或牴觸(contradiction)被更加特殊化的定義為同時斷言一個命題和它的否定。這個想法基於亞里斯多德的無矛盾律,它聲稱「你不能同時聲稱某事物在同一方面既是又不是」。
當我們說命題S與P矛盾時,意思是二者相當於A和非A的關係,也就是S與P不能同時為真、亦不能同時為假。
舉例來說:「所有學生都用功」和「有些學生不用功」就是在邏輯上矛盾;另一個例子是「死刑已被廢除,嚴格禁止包括謀殺在內的任何罪行使用死刑;但為了受害者著想及平衡各方意見,若謀殺受害者家屬強烈主張兇手必須以死謝罪,政府有義務協助受害者家屬以最快的速度讓罪犯接受死亡」,在其中「死刑已被廢除」代表的就是「這個國家沒有死刑」,而「若謀殺受害者家屬強烈主張兇手必須以死謝罪,政府有義務協助受害者家屬以最快的速度讓罪犯接受死亡」則指向「這個國家有死刑」這點,顯然一個國家或地區不可能同時有死刑又沒有死刑,此種法律是自相矛盾。
習慣上說的矛盾其實是指邏輯學上的不一致,矛盾必然不一致,然而不一致不必然矛盾。
利用矛盾的證明
在演繹邏輯和數學中,矛盾通常作為有什麼東西錯誤了的跡象,你需要折回你的推理的步驟並"檢查你的前提"。這在數學中的反證法中發揮了巨大的作用:因為矛盾永遠不能為真,所以它永遠不能是有著全部為真的前提的有效論證的結論。要構造一個利用矛盾的證明,你需要從一組前提構造一個有效的論證,得出是邏輯矛盾的一個結論。因為結論為假,並且論證是有效的,唯一的可能性是一個或多個前提為假。在很多關鍵的數學證明中使用了這種方法,比如歐幾里得對沒有最大素數的證明,和康托爾對在0和1之間有不可數個實數的對角線證明。
涉及矛盾的悖論
矛盾同許多有名的悖論有關。其中之一是在一階謂詞演算中從矛盾中可以推導出任何命題(也叫陳述)。換句話說,依據謂詞演算,不管P和Q意味著什麼,如果P和¬P都為真的,則Q為真。在這個事實的表達中,矛盾被稱為在一階邏輯中的"邏輯爆炸"。
例如,下列論證是嚴格有效,就是說前提在邏輯上蘊涵結論:
下面的論證也是有效的:
- 前提: 5既是偶數又是奇數。(就是P ∧ ¬P)。
- 結論:神不存在。(就是¬Q)。
注意這兩個論證共有的前提是錯誤的;5是奇數而不是偶數。所以此等論證都不是可靠,這意味著它們都沒有為信賴它的結論給出一個邏輯基礎。
可能大多數人認為這是怪異的,如果5既是偶數又是奇數,就能夠在邏輯上得出明顯的不相關的任何事情比如 神的存在性的結論。更加怪異的是,這個悖論還蘊涵了,如果一個人有是矛盾的任何兩個信仰,則這個人在邏輯上證實任何可想像到的信仰。
這個悖論的證明
即使謂詞演算的基本規則對於好的推理方式都是可靠的,它們在一起就會蘊涵這個悖論。有兩個方法證明它。
第一個方法來自合取和蘊涵的真值表定義:
- (P ∧ ¬P)為假。
- 所以,(P ∧ ¬P) → Q為空虛真理。
第二個方法基於真值表的在美學上的缺陷:
- 假設P ∧ ¬P。基於這個假定我們可以推導出:
- 所以 (P ∧ ¬P) → Q(條件證明)
參考文獻
- ^ Horn, Laurence R., Contradiction, Zalta, Edward N. (編), The Stanford Encyclopedia of Philosophy Winter 2018, Metaphysics Research Lab, Stanford University, 2018 [2019-12-10]
- ^ Contradiction (logic). TheFreeDictionary.com. [2020-08-14].
- ^ Tautologies, contradictions, and contingencies. www.skillfulreasoning.com. [2020-08-14].
參見
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