本條目中,向量 與純量 分別用粗體 與斜體 顯示。例如,位置向量通常用
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
表示;而其大小則用
r
{\displaystyle r\,\!}
來表示。
在靜電學 裏,電勢能 (electric potential energy )是處於電場 的電荷 分佈所具有的位能 ,與電荷分佈在系統內部的組態有關。電勢能的單位是焦耳 。電勢能與電勢 不同。電勢定義為處於電場的電荷所具有的電勢能每單位電荷 。電勢的單位是伏特 。
電勢能的數值不具有絕對意義,只具有相對意義。所以,必須先設定一個電勢能為零的參考系統。當物理系統內的每一個點電荷相距無窮遠且其相對靜止不動時,這一物理系統通常可以設定為電勢能等於零的參考系統。[ 1] :§25-1 假設一個物理系統裏的每一個點電荷,從無窮遠處被一外力勻速地遷移到其所在位置,該外力做的總機械功 為
W
{\displaystyle W}
,則定義這系統的電勢能
U
{\displaystyle U}
為
U
:=
W
{\displaystyle U:=W}
。
在這過程裏,所涉及的機械功
W
{\displaystyle W}
,不論是正值或負值,都由這物理系統之外的機制賦予。並且,被勻速遷移的每一個點電荷都不會獲得任何動能。
如此計算電勢能,並沒有考慮到移動的路徑,這是因為電場是保守場 ,電勢能只跟初始位置與終止位置有關,與路徑無關。
計算電勢能
在一個物理系統內,計算一個點電荷所具有的電勢能的方法,就是計算將這點電荷Q從無窮遠位置遷移到其它固定位置電荷附近所需要做的機械功。而計算只需要兩個參數:
其它電荷所產生的電勢。
點電荷Q的電荷量。
注意:這裏的計算不需要知道其它電荷的電荷量,也不需要知道這一點電荷Q所產生的電勢。
儲存於點電荷系統內的電勢能
單點電荷系統
只擁有單獨一個點電荷的物理系統,其電勢能為零,因為沒有任何其它可以產生電場的源電荷,所以,將點電荷從無窮遠移動至其最終位置,外機制不需要對它做任何機械功。特別注意,這點電荷有可能會與自己生成的電場發生作用。然而,由於在點電荷的位置,它自己生成的電場為無窮大,所以,在計算系統的有限總電勢能之時,一般刻意不將這「自身能」納入考量範圍之內,以簡化物理模型,方便計算。
雙點電荷系統
一個質子受到的另一個質子的電場力和電勢能隨
r
{\displaystyle r}
變化的示意圖。
思考兩個點電荷所組成的物理系統。假設第一個點電荷
q
1
{\displaystyle q_{1}}
的位置為坐標系的原點
O
{\displaystyle \mathbf {O} }
,則根據庫侖定律 ,點電荷
q
1
{\displaystyle q_{1}}
施加於位置為
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
的第二個點電荷
q
2
{\displaystyle q_{2}}
的電場力 為
F
c
=
q
1
q
2
4
π
ϵ
0
r
^
r
2
{\displaystyle \mathbf {F} _{c}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {\hat {\mathbf {r} }}{r^{2}}}}
;
其中,
ϵ
0
{\displaystyle \epsilon _{0}}
是電常數 。
在移動點電荷
q
2
{\displaystyle q_{2}}
時,為保證勻速,外機制必須施加作用力
−
F
c
{\displaystyle -\mathbf {F} _{c}}
於點電荷
q
2
{\displaystyle q_{2}}
,從而與電場力達到二力平衡。所以,機械功
W
{\displaystyle W}
為
W
=
−
∫
L
F
c
⋅
d
ℓ
=
−
q
1
q
2
4
π
ϵ
0
∫
L
r
^
r
2
⋅
d
ℓ
{\displaystyle W=-\int _{\mathbb {L} }\mathbf {F} _{c}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=-\ {\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {L} }{\frac {\hat {\mathbf {r} }}{r^{2}}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}
。
由於庫侖力為保守力 ,機械功與積分路徑
L
{\displaystyle \mathbb {L} }
無關,所以,可以選擇任意一條積分路徑。在這裏,最簡單的路徑為從無窮遠位置朝着
−
r
^
{\displaystyle -{\hat {\mathbf {r} }}}
方向遷移至
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
位置的直線路徑。那麼,機械功為
W
=
−
q
1
q
2
4
π
ϵ
0
∫
∞
r
d
r
r
2
=
q
1
q
2
4
π
ϵ
0
r
{\displaystyle W=-\ {\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\infty }^{r}{\frac {\mathrm {d} r}{r^{2}}}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}}
。
這機械功是無窮遠位置與
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
位置之間的靜電能差別:
W
=
U
(
r
)
−
U
(
∞
)
{\displaystyle W=U(\mathbf {r} )-U(\infty )}
。
設定
U
(
∞
)
=
0
{\displaystyle U(\infty )=0}
,則
U
(
r
)
=
q
1
q
2
4
π
ϵ
0
r
{\displaystyle U(\mathbf {r} )={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}}
。
現在,假設兩個點電荷的位置分別為
r
1
{\displaystyle \mathbf {r} _{1}}
、
r
2
{\displaystyle \mathbf {r} _{2}}
,則電勢能為
U
=
1
4
π
ϵ
0
q
1
q
2
|
r
2
−
r
1
|
=
1
4
π
ϵ
0
q
1
q
2
r
12
{\displaystyle U={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {q_{1}q_{2}}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {q_{1}q_{2}}{r_{12}}}}
;
其中,
r
12
=
|
r
2
−
r
1
|
{\displaystyle r_{12}=|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|}
是兩個點電荷之間的距離。
假設兩個點電荷的正負性相異,則電勢能為負值,兩個點電荷會互相吸引;否則,電勢能為正值,兩個點電荷會互相排斥。
三個以上點電荷的系統
對於三個點電荷的系統,外機制將其每一個單獨點電荷,一個接着一個,從無窮遠位置遷移至最終位置,所需要做的機械功,就是整個系統的靜位能。以方程式表示,
U
=
1
4
π
ϵ
0
(
q
1
q
2
r
12
+
q
1
q
3
r
13
+
q
2
q
3
r
23
)
{\displaystyle U={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {q_{1}q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {q_{1}q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {q_{2}q_{3}}{r_{23}}}\right)}
;
其中,
q
1
,
q
2
,
q
3
{\displaystyle q_{1},q_{2},q_{3}}
為點電荷,
r
i
j
{\displaystyle r_{ij}}
為第i個與第j個點電荷之間的距離。
按照這方法演算,對於多個點電荷的系統,按照順序,從第一個點電荷到最後一個點電荷,各自移動到最後對應位置。在第
i
{\displaystyle i}
個點電荷
q
i
{\displaystyle q_{i}}
遷移時,只會感受到從第
1
{\displaystyle 1}
個點電荷到第
i
−
1
{\displaystyle i-1}
個點電荷的電場力,而機械功
W
i
{\displaystyle W_{i}}
是因為抗拒這些電場力而做出的貢獻:
W
i
=
1
4
π
ϵ
0
∑
j
=
1
i
−
1
q
i
q
j
r
i
j
{\displaystyle W_{i}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{i-1}{\frac {q_{i}q_{j}}{r_{ij}}}}
。
所有點電荷做出的總機械功(即總電勢能)為[ 2]
U
=
W
=
∑
i
=
1
n
W
i
=
1
4
π
ϵ
0
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
i
−
1
q
i
q
j
r
i
j
{\displaystyle U=W=\sum _{i=1}^{n}W_{i}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{i-1}{\frac {q_{i}q_{j}}{r_{ij}}}}
。
將每一個項目重覆多計算一次,然後將總和除以
2
{\displaystyle 2}
,這公式也可以表達為,
U
=
1
8
π
ϵ
0
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
,
j
≠
i
n
q
i
q
j
r
i
j
{\displaystyle U={\frac {1}{8\pi \epsilon _{0}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1,j\neq i}^{n}{\frac {q_{i}q_{j}}{r_{ij}}}}
。
這樣,可以忽略點電荷的遷移順序。
注意到除了點電荷
q
i
{\displaystyle q_{i}}
以外,所有其它點電荷產生的電勢在位置
r
i
{\displaystyle \mathbf {r} _{i}}
為
ϕ
(
r
i
)
=
1
4
π
ϵ
0
∑
j
=
1
,
j
≠
i
n
q
j
r
i
j
{\displaystyle \phi (\mathbf {r} _{i})={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\sum _{j=1,j\neq i}^{n}{\frac {q_{j}}{r_{ij}}}}
。
所以,離散點電荷系統的總電勢能為
U
=
1
2
∑
i
=
1
n
q
i
ϕ
(
r
i
)
{\displaystyle U={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}\phi (\mathbf {r} _{i})}
。
上述方程式假設電介質是自由空間 ,其電容率 為
ϵ
0
{\displaystyle \epsilon _{0}}
,即電常數。假設電介質不是自由空間,而是電容率為
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
的某種電介質,則必需將方程式內的
ϵ
0
{\displaystyle \epsilon _{0}}
更換為
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
。
儲存於連續電荷分佈的能量
對於連續電荷分佈,前面的電勢能方程式變為[ 2]
U
=
1
2
∫
V
ρ
(
r
)
ϕ
(
r
)
d
3
r
{\displaystyle U={\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {V} }\rho (\mathbf {r} )\phi (\mathbf {r} )\ \mathrm {d} ^{3}r}
;
其中,
ρ
(
r
)
{\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}
是在源位置
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
的電荷密度 ,
V
{\displaystyle \mathbb {V} }
是積分體積。
應用高斯定律
∇
⋅
E
=
ρ
ϵ
0
{\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}}
;
其中,
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
是電場。
電勢能為
U
=
ϵ
0
2
∫
V
[
∇
⋅
E
(
r
)
]
ϕ
(
r
)
d
3
r
=
ϵ
0
2
∫
V
∇
⋅
[
E
(
r
)
ϕ
(
r
)
]
−
E
(
r
)
⋅
∇
ϕ
(
r
)
d
3
r
{\displaystyle {\begin{aligned}U&={\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int _{\mathbb {V} }[\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )]\phi (\mathbf {r} )\ \mathrm {d} ^{3}r\\&={\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int _{\mathbb {V} }\mathbf {\nabla } \cdot [\mathbf {E} (\mathbf {r} )\phi (\mathbf {r} )]-\mathbf {E} (\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\nabla } \phi (\mathbf {r} )\ \mathrm {d} ^{3}r\\\end{aligned}}}
。
應用散度定理 ,可以得到
U
=
ϵ
0
2
∮
S
[
E
(
r
)
ϕ
(
r
)
]
⋅
d
2
r
−
ϵ
0
2
∫
V
E
(
r
)
⋅
∇
ϕ
(
r
)
d
3
r
{\displaystyle U={\frac {\epsilon _{0}}{2}}\oint _{\mathbb {S} }[\mathbf {E} (\mathbf {r} )\phi (\mathbf {r} )]\cdot \mathrm {d} ^{2}r-{\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int _{\mathbb {V} }\mathbf {E} (\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\nabla } \phi (\mathbf {r} )\ \mathrm {d} ^{3}r}
;
其中,
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
是包住積分體積
V
{\displaystyle \mathbb {V} }
的閉曲面。
當積分體積
V
{\displaystyle \mathbb {V} }
趨向於無限大時,閉曲面
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
的面積趨向於以變率
r
2
{\displaystyle r^{2}}
遞增,而電場、電勢分別趨向於以變率
1
/
r
2
{\displaystyle 1/r^{2}}
、
1
/
r
{\displaystyle 1/r}
遞減,所以,上述方程式左手邊第一個面積分項目趨向於零,電勢能變為
U
=
−
ϵ
0
2
∫
A
L
L
S
P
A
C
E
E
(
r
)
⋅
∇
ϕ
(
r
)
d
3
r
{\displaystyle U=-{\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int _{\mathbb {ALL\ SPACE} }\mathbf {E} (\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\nabla } \phi (\mathbf {r} )\mathrm {d} ^{3}r}
。
電場與電勢的微分關係為
E
=
−
∇
ϕ
{\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \phi }
。
將這方程式代入,電勢能變為
U
=
ϵ
0
2
∫
A
L
L
S
P
A
C
E
[
E
(
r
)
]
2
d
3
r
{\displaystyle U={\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int _{\mathbb {ALL\ SPACE} }[E(\mathbf {r} )]^{2}\mathrm {d} ^{3}r}
。
所以,電勢能密度
u
{\displaystyle u}
為
u
(
r
)
=
ϵ
0
2
[
E
(
r
)
]
2
{\displaystyle u(\mathbf {r} )={\frac {\epsilon _{0}}{2}}[E(\mathbf {r} )]^{2}}
。
自身能與相互作用能
前面分別推導出兩個電勢能方程式:
U
=
1
8
π
ϵ
0
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
,
j
≠
i
n
q
i
q
j
r
i
j
{\displaystyle U={\frac {1}{8\pi \epsilon _{0}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1,j\neq i}^{n}{\frac {q_{i}q_{j}}{r_{ij}}}}
。
U
=
ϵ
0
2
∫
A
L
L
S
P
A
C
E
[
E
(
r
)
]
2
d
3
r
{\displaystyle U={\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int _{\mathbb {ALL\ SPACE} }[E(\mathbf {r} )]^{2}\mathrm {d} ^{3}r}
。
注意到第一個方程式計算得到的電勢能,可以是正值,也可以是負值;但從第一個方程式推導出來的第二個方程式,其計算得到的電勢能則必定是正值。為甚麼會發生這不一致問題?原因是第一個方程式只囊括了電荷與電荷之間的相互作用能;而第二個方程式在推導過程中,無可避免地將電荷的自身能也包括在內。在推導第一個方程式時,在位置
r
i
{\displaystyle \mathbf {r} _{i}}
的電勢乃是,除了
q
i
{\displaystyle q_{i}}
以外,所有其它電荷共同貢獻出的電勢;而在推導第二個方程式時,電勢乃是所有電荷共同貢獻出的電勢。
舉一個雙點電荷案例,假設電荷
q
1
{\displaystyle q_{1}}
、
q
2
{\displaystyle q_{2}}
的位置分別為
r
1
{\displaystyle \mathbf {r} _{1}}
、
r
2
{\displaystyle \mathbf {r} _{2}}
,則在任意位置
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
的電場為[ 2]
E
=
E
1
+
E
2
=
q
1
4
π
ϵ
0
r
−
r
1
|
r
−
r
1
|
3
+
q
2
4
π
ϵ
0
r
−
r
2
|
r
−
r
2
|
3
{\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {E} _{1}+\mathbf {E} _{2}={\frac {q_{1}}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}|^{3}}}+{\frac {q_{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}|^{3}}}}
,
其電勢能密度為
u
=
ϵ
0
2
E
2
=
ϵ
0
2
(
E
1
2
+
E
2
2
+
2
E
1
⋅
E
2
)
{\displaystyle u={\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}={\frac {\epsilon _{0}}{2}}(E_{1}\,^{2}+E_{2}\,^{2}+2\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2})}
。
很明顯地,這方程式右手邊的前兩個項目分別為電荷
q
1
{\displaystyle q_{1}}
、
q
2
{\displaystyle q_{2}}
的自身能密度
ϵ
0
E
1
2
/
2
{\displaystyle \epsilon _{0}E_{1}\,^{2}/2}
、
ϵ
0
E
2
2
/
2
{\displaystyle \epsilon _{0}E_{2}\,^{2}/2}
。最後一個項目是否為相互作用能密度?為了回答這有意思的問題,繼續計算相互作用能密度的體積積分:
U
i
n
t
=
∫
V
u
i
n
t
d
3
r
=
ϵ
0
∫
V
E
1
⋅
E
2
d
3
r
=
q
1
q
2
16
π
2
ϵ
0
∫
V
r
−
r
1
|
r
−
r
1
|
3
⋅
r
−
r
2
|
r
−
r
2
|
3
d
3
r
{\displaystyle U_{int}=\int _{\mathbb {V} }u_{int}\ \mathrm {d} ^{3}r=\epsilon _{0}\int _{\mathbb {V} }\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}\ \mathrm {d} ^{3}r={\frac {q_{1}q_{2}}{16\pi ^{2}\epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} }{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}|^{3}}}\ \cdot \ {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}|^{3}}}\ \mathrm {d} ^{3}r}
。
應用一條向量恆等式 ,
∇
(
1
|
r
−
r
′
|
)
=
−
(
r
−
r
′
)
|
r
−
r
′
|
3
{\displaystyle \nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)=-\ {\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}}
,
可以得到
U
i
n
t
=
q
1
q
2
16
π
2
ϵ
0
∫
V
∇
(
1
|
r
−
r
1
|
)
⋅
∇
(
1
|
r
−
r
2
|
)
d
3
r
=
q
1
q
2
16
π
2
ϵ
0
∫
V
∇
⋅
[
1
|
r
−
r
1
|
∇
(
1
|
r
−
r
2
|
)
]
−
(
1
|
r
−
r
1
|
)
∇
2
(
1
|
r
−
r
2
|
)
d
3
r
{\displaystyle {\begin{aligned}U_{int}&={\frac {q_{1}q_{2}}{16\pi ^{2}\epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} }\nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}|}}\right)\ \cdot \ \nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}|}}\right)\mathrm {d} ^{3}r\\&={\frac {q_{1}q_{2}}{16\pi ^{2}\epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} }\nabla \ \cdot \ \left[{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}|}}\nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}|}}\right)\right]-\ \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}|}}\right)\nabla ^{2}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}|}}\right)\mathrm {d} ^{3}r\\\end{aligned}}}
。
應用散度定理 ,可以將這方程式右手邊第一個項目,從體積積分變為面積積分:
∫
V
∇
⋅
[
1
|
r
−
r
1
|
∇
(
1
|
r
−
r
2
|
)
]
d
3
r
=
∮
S
[
1
|
r
−
r
1
|
∇
(
1
|
r
−
r
2
|
)
]
⋅
d
2
r
{\displaystyle \int _{\mathbb {V} }\nabla \ \cdot \ \left[{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}|}}\nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}|}}\right)\right]\mathrm {d} ^{3}r=\oint _{\mathbb {S} }\left[{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}|}}\nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}|}}\right)\right]\cdot \mathrm {d} ^{2}r}
;
其中,
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
是包住積分體積
V
{\displaystyle \mathbb {V} }
的閉曲面。
假設
V
{\displaystyle \mathbb {V} }
趨向於無窮大空間,則這面積積分趨向於零。再應用一則關於狄拉克δ函數 的向量恆等式
∇
2
(
1
|
r
−
r
′
|
)
=
−
4
π
δ
(
r
−
r
′
)
{\displaystyle \nabla ^{2}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)=-4\pi \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}
,
可以得到
U
i
n
t
=
q
1
q
2
4
π
ϵ
0
∫
A
L
L
S
P
A
C
E
δ
(
r
−
r
2
)
|
r
−
r
1
|
d
3
r
=
1
4
π
ϵ
0
q
1
q
2
|
r
1
−
r
2
|
{\displaystyle U_{int}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {ALL\ SPACE} }{\frac {\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}|}}\ \mathrm {d} ^{3}r={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {q_{1}q_{2}}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|}}}
。
這就是雙點電荷系統的電勢能。
參考文獻