古爾丁定理
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古爾丁定理(英語:Guldinus theorem)[註 1],最初由古希臘的帕普斯發現,後來在16世紀保羅·古爾丁又重新發現了這個定理。
表面積
- 有一條平面曲線,跟它的同一個平面上有一條軸。由該平面曲線以該條軸與旋轉而產生的旋轉曲面的表面積,等於曲線的長度乘以曲線的幾何中心經過的距離:。
若有平面連續曲線,求在時,曲線以軸旋轉所得的曲面表面積。可考慮一小段曲線,其幾何中心便是,曲線長度為,因此這個曲面的表面積便是:
- 。
體積
- 由平面形狀繞和它的同一個平面上的軸旋轉而產生的旋轉體的體積,等於平面形狀面積乘以平面形狀的幾何中心經過的距離的積:。
再考慮一般平面曲線下的面積的情況,可得旋轉體體積。
註釋
- ^ 又稱帕普斯幾何中心定理(Pappus centroid theorem)、古魯金定理、巴普斯定理。