可及關係

可及關係是在可能世界之間的二元關係 R，它在模態邏輯的形式化/理論方面非常有用，它同樣也用於知識論、形而上學和價值理論。

(命題)模態邏輯的基本概述

為了真正理解什麼是可及關係，需要一些對模態邏輯基礎的背景解說。出於簡化的目的，我們將限制於命題模態邏輯。命題模態邏輯只是帶有兩個關鍵一元算子的傳統句子邏輯: $\Box$ 意味着 "...是必然的" 和 $\Diamond$ 表示 "...是可能的"。這些算子可以附加到一個單獨的句子上來形成一個新的複合句子。對於任何(簡單的或複合的)句子 A，我們可以由此形成複合句子 $\Box A$ 和 $\Diamond A$ 。

現在，使用 p、q 等來表示我們語言的語句，x、y 等來表示對象，而 P、Q 等來表示謂詞，我們可以寫出幾乎所有模態邏輯的六個基本公理:

$\Box p\leftrightarrow \lnot \Diamond \lnot p$
$\Diamond p\leftrightarrow \lnot \Box \lnot p$
$p\rightarrow \Diamond p$
$\Box (p\land q)\leftrightarrow (\Box p\land \Box q)$
$(\Box p\lor \Box q)\rightarrow \Box (p\lor q)$
$\Box (p\to q)\to (\Box p\to \Box q)$

多數其他公理關注有爭議而沒有達成廣泛一致的模態算子。下面是其中最經常使用和討論的:

(T)

\Box p\rightarrow p

(4)

\Box p\rightarrow \Box \Box p

(5)

\Diamond p\rightarrow \Box \Diamond p

(B)

p\rightarrow \Box \Diamond p

這裏的 "(T)"、"(4)"、"(E)" 和 "(B)" 表示這些公理(或原理)的傳統名字。

依據模態邏輯的傳統可能世界語義，由模態算子形成的複合句子要用量化於可能世界上的方式來解釋，訴諸於可及(accessibility)關係。可及關係現在可以定義為(無法解釋的)關係 $R(w_{1},w_{2})\,$ ，它成立於可能世界 $w_{1}\,$ 和 $w_{2}\,$ 之間，只在可以從 $w_{1}\,$ 到達 $w_{2}\,$ 的情況下。

在形式語義中可及關係的重要性

設 w* 指示真實世界，我們還要服從可能世界語義的兩個基礎變換模式:

(TS)必然的 p 意味着 p 在 R(w*,w) 的所有可能世界 w 中是真的。可能的 p 意味着 p 在 R(w*,w) 的某些可能世界 w 中是真的。

要在技術/形式層面看到可及關係的能力和用途，注意下列聯繫成立:

公理 (T) 成立，如果可及關係 R 是自反的。如果每個世界可以訪問到自身，則 A 在其中為真的任何世界都是從它可到達 A 在其中為真的一個可及世界的一個世界。

公理 (4) 成立，如果 R 是傳遞的。 $\Box A$ 在一個世界 w 中為真，只在從 w 可到達的所有世界 $w'$ 中 A 都為真的情況下。所以， $\Box \Box A$ 在一個世界 w 中為真，只在從 w 可到達的所有世界 $w'$ 可到達的所有世界 $w''$ 中 A 都是真的情況下。

公理(5) 成立，如果 R 是歐幾里得的。 $\Diamond A$ 在一個世界 w 為真，若且唯若 A 在從 w 可到達的某個世界為真。 $\Box \Diamond A$ 在一個世界 w 為真，若且唯若對於從 w 可以達到的所有世界 $w'$ ，有從 $w'$ 可到達的一個世界 $w''$ ，A 在其中為真。如果 A 在從 w 可到達的一個世界 $w''$ 中為真，那麼根據歐幾里得性質從 w 可到達的所有其他世界都能達到這個世界 $w''$ ，所以對於從 w 可到達的所有世界 $w'$ ，都有 A 在其中為真的一個可到達的世界 $w''$ ，這保證了這個公理為真理。

公理 (B) 成立，如果 R 是對稱的。如果 A 在一個世界 w 中為真，則在從 w 可到達的所有世界 $w'$ 中，有從 $w'$ 可到達的一個世界，A 在中為真。對稱性提供從 $w'$ 可到達 w，這保證了這個公理為真理。

按大衛·劉易斯所說，結果是"舊爭論讓位於新爭論。不再提問莫名其妙的問題，是否現實的東西必然是可能的，我們可以簡單的提問: 關係 R 是對稱的嗎? "(劉易斯，1996)。

參見

引用

Fitelson, Brandon. Notes on "Accessibility" and Modality. 2003.
Brown, Curtis. Propositional Modal Logic: A Few First Steps. 2002.
Kripke, Saul. Naming and Necessity. Oxford. 1980.
Lewis, D.K.. Counterpart Theory and Quantified Modal Logic. Journal of Philosophy. 1968
List of Logic Systems List of most of the more popular modal logics.