锥台![](//images.weserv.nl/?url=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/15/Pentagonal_frustum.svg/110px-Pentagonal_frustum.svg.png) ![](//images.weserv.nl/?url=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6a/Usech_kvadrat_piramid.png/110px-Usech_kvadrat_piramid.png) 例如:五角锥台与四角锥台 |
类别 | 锥台 |
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对偶多面体 | 不对称双锥体 |
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面 | ![{\displaystyle {{n}+{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70b7be362e6e223e6038b4198112502030c28c6b) |
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边 | ![{\displaystyle {{3}\,{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50e13d9f0f7fd2f65c89c576e444ad66cea99e0d) |
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顶点 | ![{\displaystyle {{2}\,{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f38303541b95f63cf341f60913ec5ea1ddab7e74) |
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欧拉特征数 | F= , E= , V= (χ=2) |
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面的种类 | n 个梯形, 2 个n边形 |
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对称群 | Cnv, [1,n], (*nn) |
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凸多面体 |
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注: 为底面边数 。 |
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棱台是几何学中研究的一类多面体,指一个棱锥被平行于它的底面的一个平面所截后,截面与底面之间的几何形体。截面也称为棱台的上底面,原来棱锥的底面称为下底面。随着棱锥形状不同,棱台的称呼也不相同,依底面多边形而定,例如底面是正方形的棱台称为方棱台,底面为三角形的棱台称为三棱台,底面为五边形的棱台称为五棱台等等。棱台是平截头体的一类,也是更广义的拟柱体的一种。根据所截的是圆锥还是棱锥,可分为圆台与棱台。
从棱台的定义可以推知,一个以n边形为底面的棱台,一共有2n个顶点,n+2个面以及3n条边。棱台的对偶多面体是双锥。棱台的对称性取决于原来棱锥。如果原来的棱锥是正棱锥,那么棱台和正多边形有相同的对称结构(同构的对称群)。
性质
体积
棱台的体积取决于两底面之间的距离(棱台的高),以及原来棱锥的体积。设
为棱台的高,
和
为棱台的上下底面积,
为棱台的体积。由于棱台是由一个平面截去棱锥的一部分(也就是和原来棱锥相似的一个小棱锥)得到,所以计算体积的时候,可以先算出原来棱锥的体积,再减去和它相似的小棱锥的体积。棱锥被平行于底面的平面所截时,截面的面积与底面面积的比,等于小棱锥和原棱锥的高的比的平方。假设原棱锥的高是
,那么小棱锥的高是
。也就是说:
所以:
棱台的体积等于原棱锥体积减去小棱锥的体积:
![{\displaystyle V={\frac {S_{d}H}{3}}-{\frac {S_{u}(H-h)}{3}}={\frac {(S_{d}{\sqrt {S_{d}}}-S_{u}{\sqrt {S_{u}}})h}{3({\sqrt {S_{d}}}-{\sqrt {S_{u}}})}}={\frac {h}{3}}\left(S_{d}+S_{u}+{\sqrt {S_{d}}}{\sqrt {S_{u}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a7d97af3b83a57ed82507a34b0f8d91abdfec7d)
对于正棱锥,假设它的底面是正n边形,边长分别为a和b,高是h,那么底面积是:
所以它的体积是:
![{\displaystyle V={\frac {n(a^{2}+b^{2}+ab)h}{12}}\cot {\frac {\pi }{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aea519daa1da4b51d246b5371ffdc189e9fa8391)
表面积
棱台的侧面展开图是由各个梯形侧面组成的,展开图的面积,就是各个侧面的面积之和,也就是原棱锥的侧面积减去小棱锥的侧面积Sc
,其中
是第 i 个侧面的面积。
棱台的表面积等于棱台的侧面积Sc加上底面积S。假设各个梯形侧面的高是hi,底边的长度是ai和bi,那么棱锥的侧面积:
![{\displaystyle S_{c}=\sum _{i=1}^{n}S_{i}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})h_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/703c824d4ff7d863398acd0fc0d27cc1ccfdf353)
体积公式
棱台或圆台的体积是原立体图形的体积减去被截去部分的体积:
![{\displaystyle V={\frac {h_{2}B_{2}-h_{1}B_{1}}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/120a733e4b559686d940dc2f0b18bbcefc714e91)
B1 指一个底面的面积,B2指另一个底面的面积, and h1, h2 指原顶点分别到两底面的面积。
考虑到
![{\displaystyle {\frac {B_{1}}{h_{1}^{2}}}={\frac {B_{2}}{h_{2}^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd8d9304e5ea4cf1d18591ef19e44263d3cd88d9)
这个体积也可用平截头体的高 h = h2−h1 与两底面面积的希罗平均数表达:
![{\displaystyle V={\frac {h}{3}}(B_{1}+B_{2}+{\sqrt {B_{1}B_{2}}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cecbb00acf5d3d31dd93e8ac942235476d521c6)
亚历山大里亚的希罗 推导出了这个公式并且凭借它遇到了虚数。[1]
特别地, 圆台的体积是
![{\displaystyle V={\frac {\pi h}{3}}(R_{1}^{2}+R_{2}^{2}+R_{1}R_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57d66a308105a6be2d2edaccf5fb0fd7a8f5c5aa)
π 等于 3.14159265...,'R1, R2 是两底面的半径。
Pyramidal frustum.
底面为n边形的棱台的体积是
![{\displaystyle V={\frac {nh}{12}}(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{1}a_{2})\cot {\frac {180}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8900048ef14b73c0e5b8984f17925dafe1c32830)
a1 与 a2 是底面的边长。
表面积公式
对于一个正圆台,[2]
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Lateral Surface Area}}&=\pi (R_{1}+R_{2})s\\&=\pi (R_{1}+R_{2}){\sqrt {(R_{1}-R_{2})^{2}+h^{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/628325b3195f4e422275361bf61997ed81ba6cd0)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Total Surface Area}}&=\pi \left[(R_{1}+R_{2})s+R_{1}^{2}+R_{2}^{2}\right]\\&=\pi \left[(R_{1}+R_{2}){\sqrt {(R_{1}-R_{2})^{2}+h^{2}}}+R_{1}^{2}+R_{2}^{2}\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b8201057855f7fa983fa2497704c9519c068b24)
Lateral Surface Area指侧面积,Total Surface Area指总面积,R1 and R2 为底面半径,s 为平截头体的斜高。
一个底面为正n边形的正棱台的表面积是
![{\displaystyle A={\frac {n}{4}}\left[(a_{1}^{2}+a_{2}^{2})\cot {\frac {\pi }{n}}+{\sqrt {(a_{1}^{2}-a_{2}^{2})^{2}\sec ^{2}{\frac {\pi }{n}}+4h^{2}(a_{1}+a_{2})^{2}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfe2ca30c9417908ab3b1e7cacd952dd58ac0283)
a1 与 a2是两底面的边长。
参见
- 金字塔:某些金字塔是棱台状建筑,大部分是四棱台;
- 圆台:平行于圆锥底面的平面截圆锥,截面和底面之间的部分;
- 棱锥:多边形的各个顶点与平面外一点相连得到的几何体。
- 双锥台
- 锥体
参考资料
- ^ Nahin, Paul. "An Imaginary Tale: The story of the square root of minus one." Princeton University Press. 1998
- ^ Mathwords.com: Frustum. [17 July 2011]. (原始内容存档于2021-01-26).
链接