阿贝尔求和公式

阿贝尔求和公式是由尼尔斯·阿贝尔所发现，广泛应用于数论之中，以便用来计算级数。

恒等式

设$a_{n}$为一列由实数或复数，$\phi$是一个连续可导函数，则

$\sum _{1\leq n\leq x}a_{n}\phi (n)=A(x)\phi (x)-\int _{1}^{x}A(u)\phi '(u)\,\mathrm {d} u$

其中$A(x)$是部分和

$A(x):=\sum _{1\leq n\leq x}a_{n}\,.$

而且这正是对黎曼－斯蒂尔杰斯积分运用分部积分法所得到的。

更一般情况，有

$\sum _{x<n\leq y}a_{n}\phi (n)=A(y)\phi (y)-A(x)\phi (x)-\int _{x}^{y}A(u)\phi '(u)\,\mathrm {d} u\,.$

例

欧拉-马斯刻若尼常数

设$a_{n}=1$，$\phi (x)={\frac {1}{x}}$，则$A(x)=\lfloor x\rfloor$，恒等式变为

$\sum _{n=1}^{x}{\frac {1}{n}}={\frac {\lfloor x\rfloor }{x}}+\int _{1}^{x}{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{2}}}\,\mathrm {d} u,$

因此是一种可以表示欧拉-马斯刻若尼常数的方式。

黎曼ζ函数的表示

设$a_{n}=1$，$\phi (x)={\frac {1}{x^{s}}}$，则$A(x)=\lfloor x\rfloor$，故

$\sum _{1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{1+s}}}\mathrm {d} u\,.$

公式在$\Re (s)>1$时成立，并且可以用来推导狄利克雷定理，其断言，若以$\zeta$表示黎曼ζ函数，则$\zeta (s)$在s = 1处有留数为1的简单极点。

黎曼ζ函数的倒数

设$a_{n}=\mu (n)$，$\mu$为默比乌斯函数，且$\phi (x)={\frac {1}{x^{s}}}$，则$A(x)=M(x)=\sum _{n\leq x}\mu (n)$，故$A$为梅滕斯函数，而恒等式变成

$\sum _{1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {M(u)}{u^{1+s}}}\mathrm {d} u\,.$

上式在$\Re (s)>1$时成立。

参见

• 分部积分法
• 黎曼ζ函数

参考文献

• Apostol, Tom, Introduction to Analytic Number Theory, 数学大学生教材, Springer-Verlag, 1976 .