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卡爾曼分解(Kalman decomposition)是控制理论中的數學工具,可以將线性时不变(LTI)控制系統轉變為可以清楚區分系統可觀測及可控制成份的系統。分解後的系統會有更清楚的結構,更容易可以對系統可到達及可觀測子空間的特性下結論。
符號
推導方式在離散時間系統及連續時間系統都是一様的。連續時間線性系統可以表示如下:
![{\displaystyle {\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bf0420687df3296478180e7b6da974e5b9b57cd)
![{\displaystyle \,y(t)=Cx(t)+Du(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4964386425cebd84a825a4cf0a041cb0c365994)
其中
為狀態向量
為輸出向量
為輸入(或控制)向量
為狀態矩陣
為輸入矩陣
為輸出矩陣
為前饋矩陣
而離散時間線性系統可以表示如下:
![{\displaystyle \,x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b87047c08ceb1747d8e8645cc28e4372e8b333b4)
![{\displaystyle \,y(k)=Cx(k)+Du(k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df3c23b8ba787311e9a2847d2f06479dd58b530e)
各向量及矩陣的意思如上。因此,系統可以表示為包括四個矩陣的數組
。
令系統的階數為
。
卡爾曼分解定義為將矩陣數組
轉換為矩陣數組
,且後者有以下的特性:
![{\displaystyle \,{\hat {A}}={T^{-1}}AT}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5966020547df326b6112a83663aa94b532478fc0)
![{\displaystyle \,{\hat {B}}={T^{-1}}B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/356b2f3b65c4b5e2db516747ed92ae16400385a3)
![{\displaystyle \,{\hat {C}}=CT}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/668f793cc02adc4f76fa57701bbf693ee498b1d2)
![{\displaystyle \,{\hat {D}}=D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05daf644820de03ca6c3099bf3e0b2cb7366ab65)
為
的可逆矩陣,可以定義為
![{\displaystyle \,T={\begin{bmatrix}T_{r{\overline {o}}}&T_{ro}&T_{\overline {ro}}&T_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b05bf13c7df1de9427bfefe5b1e34ddc0637b897)
其中
的各列(column)會生成可到達,不可觀察的狀態子空間。
- 選擇
,使得
的各列(column)是可到達子空間的基底。
- 選擇
,使得
的各列(column)是不可觀察子空間的基底。
- 選擇
,使得
可逆。
依上述的建構方式,矩陣
可逆。可以觀察到其中有些矩陣可能會是零維度。例如,若系統有時有可觀察性及可控制性,則
,其他的矩陣都是零維。
標準型
利用可控制性及可觀察性的結果,可以證明轉換後的系統
有以下形式的矩陣:
![{\displaystyle \,{\hat {A}}={\begin{bmatrix}A_{r{\overline {o}}}&A_{12}&A_{13}&A_{14}\\0&A_{ro}&0&A_{24}\\0&0&A_{\overline {ro}}&A_{34}\\0&0&0&A_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e5c09fd04602e67b24dd2ffa0ab653dd4d95f60)
![{\displaystyle \,{\hat {B}}={\begin{bmatrix}B_{r{\overline {o}}}\\B_{ro}\\0\\0\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e1adbf4b22834e0d4d3472d75387f5927b9854d)
![{\displaystyle \,{\hat {C}}={\begin{bmatrix}0&C_{ro}&0&C_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e3eb208d870022cb397df0e97d5d6d02410c222)
![{\displaystyle \,{\hat {D}}=D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05daf644820de03ca6c3099bf3e0b2cb7366ab65)
因此可得以下結論
- 子系統
具有可到達性及可觀察性。
- 子系統
有可到達性。
- 子系統
有可觀察性。
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外部連結