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卡爾曼分解

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卡爾曼分解(Kalman decomposition)是控制理论中的數學工具,可以將线性时不变(LTI)控制系統轉變為可以清楚區分系統可觀測可控制成份的系統。分解後的系統會有更清楚的結構,更容易可以對系統可到達英语Reachability problem及可觀測子空間的特性下結論。

符號

推導方式在離散時間系統及連續時間系統都是一様的。連續時間線性系統可以表示如下:

其中

為狀態向量
為輸出向量
為輸入(或控制)向量
為狀態矩陣
為輸入矩陣
為輸出矩陣
為前饋矩陣

而離散時間線性系統可以表示如下:

各向量及矩陣的意思如上。因此,系統可以表示為包括四個矩陣的數組。 令系統的階數為

卡爾曼分解定義為將矩陣數組轉換為矩陣數組,且後者有以下的特性:

的可逆矩陣,可以定義為

其中

  • 的各列(column)會生成可到達,不可觀察的狀態子空間。
  • 選擇 ,使得的各列(column)是可到達子空間的基底。
  • 選擇 ,使得的各列(column)是不可觀察子空間的基底。
  • 選擇 ,使得可逆。

依上述的建構方式,矩陣可逆。可以觀察到其中有些矩陣可能會是零維度。例如,若系統有時有可觀察性及可控制性,則,其他的矩陣都是零維。

標準型

利用可控制性及可觀察性的結果,可以證明轉換後的系統有以下形式的矩陣:

因此可得以下結論

  • 子系統具有可到達性及可觀察性。
  • 子系統有可到達性。
  • 子系統有可觀察性。

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