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卡尔曼分解

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卡尔曼分解(Kalman decomposition)是控制理论中的数学工具,可以将线性时不变(LTI)控制系统转变为可以清楚区分系统可观测可控制成份的系统。分解后的系统会有更清楚的结构,更容易可以对系统可到达英语Reachability problem及可观测子空间的特性下结论。

符号

推导方式在离散时间系统及连续时间系统都是一様的。连续时间线性系统可以表示如下:

其中

为状态向量
为输出向量
为输入(或控制)向量
为状态矩阵
为输入矩阵
为输出矩阵
为前馈矩阵

而离散时间线性系统可以表示如下:

各向量及矩阵的意思如上。因此,系统可以表示为包括四个矩阵的数组。 令系统的阶数为

卡尔曼分解定义为将矩阵数组转换为矩阵数组,且后者有以下的特性:

的可逆矩阵,可以定义为

其中

  • 的各列(column)会生成可到达,不可观察的状态子空间。
  • 选择 ,使得的各列(column)是可到达子空间的基底。
  • 选择 ,使得的各列(column)是不可观察子空间的基底。
  • 选择 ,使得可逆。

依上述的建构方式,矩阵可逆。可以观察到其中有些矩阵可能会是零维度。例如,若系统有时有可观察性及可控制性,则,其他的矩阵都是零维。

标准型

利用可控制性及可观察性的结果,可以证明转换后的系统有以下形式的矩阵:

因此可得以下结论

  • 子系统具有可到达性及可观察性。
  • 子系统有可到达性。
  • 子系统有可观察性。

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