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卡尔曼分解(Kalman decomposition)是控制理论中的数学工具,可以将线性时不变(LTI)控制系统转变为可以清楚区分系统可观测及可控制成份的系统。分解后的系统会有更清楚的结构,更容易可以对系统可到达及可观测子空间的特性下结论。
符号
推导方式在离散时间系统及连续时间系统都是一様的。连续时间线性系统可以表示如下:
![{\displaystyle {\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bf0420687df3296478180e7b6da974e5b9b57cd)
![{\displaystyle \,y(t)=Cx(t)+Du(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4964386425cebd84a825a4cf0a041cb0c365994)
其中
为状态向量
为输出向量
为输入(或控制)向量
为状态矩阵
为输入矩阵
为输出矩阵
为前馈矩阵
而离散时间线性系统可以表示如下:
![{\displaystyle \,x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b87047c08ceb1747d8e8645cc28e4372e8b333b4)
![{\displaystyle \,y(k)=Cx(k)+Du(k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df3c23b8ba787311e9a2847d2f06479dd58b530e)
各向量及矩阵的意思如上。因此,系统可以表示为包括四个矩阵的数组
。
令系统的阶数为
。
卡尔曼分解定义为将矩阵数组
转换为矩阵数组
,且后者有以下的特性:
![{\displaystyle \,{\hat {A}}={T^{-1}}AT}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5966020547df326b6112a83663aa94b532478fc0)
![{\displaystyle \,{\hat {B}}={T^{-1}}B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/356b2f3b65c4b5e2db516747ed92ae16400385a3)
![{\displaystyle \,{\hat {C}}=CT}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/668f793cc02adc4f76fa57701bbf693ee498b1d2)
![{\displaystyle \,{\hat {D}}=D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05daf644820de03ca6c3099bf3e0b2cb7366ab65)
为
的可逆矩阵,可以定义为
![{\displaystyle \,T={\begin{bmatrix}T_{r{\overline {o}}}&T_{ro}&T_{\overline {ro}}&T_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b05bf13c7df1de9427bfefe5b1e34ddc0637b897)
其中
的各列(column)会生成可到达,不可观察的状态子空间。
- 选择
,使得
的各列(column)是可到达子空间的基底。
- 选择
,使得
的各列(column)是不可观察子空间的基底。
- 选择
,使得
可逆。
依上述的建构方式,矩阵
可逆。可以观察到其中有些矩阵可能会是零维度。例如,若系统有时有可观察性及可控制性,则
,其他的矩阵都是零维。
标准型
利用可控制性及可观察性的结果,可以证明转换后的系统
有以下形式的矩阵:
![{\displaystyle \,{\hat {A}}={\begin{bmatrix}A_{r{\overline {o}}}&A_{12}&A_{13}&A_{14}\\0&A_{ro}&0&A_{24}\\0&0&A_{\overline {ro}}&A_{34}\\0&0&0&A_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e5c09fd04602e67b24dd2ffa0ab653dd4d95f60)
![{\displaystyle \,{\hat {B}}={\begin{bmatrix}B_{r{\overline {o}}}\\B_{ro}\\0\\0\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e1adbf4b22834e0d4d3472d75387f5927b9854d)
![{\displaystyle \,{\hat {C}}={\begin{bmatrix}0&C_{ro}&0&C_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e3eb208d870022cb397df0e97d5d6d02410c222)
![{\displaystyle \,{\hat {D}}=D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05daf644820de03ca6c3099bf3e0b2cb7366ab65)
因此可得以下结论
- 子系统
具有可到达性及可观察性。
- 子系统
有可到达性。
- 子系统
有可观察性。
相关条目
外部链接