古德曼函數(Gudermannian function)是一個函數。它無須涉及複數便將三角函數和雙曲函數連繫起來。
性質
古德曼函數,圖中的藍色橫線為漸近線
。
古德曼函數的定義如下
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {gd}}(x)&=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\cosh t}}\qquad -\infty <x<\infty \\&=\arcsin \left(\tanh x\right)={\mbox{arctan}}\left(\sinh x\right)=\mathrm {arccsc} \left(\coth x\right)\\&={\mbox{sgn}}(x)\cdot \mathrm {arccos} \left(\mathrm {sech} \,x\right)={\mbox{sgn}}(x)\cdot \mathrm {arcsec} \left(\cosh x\right)\\&=2\arctan(e^{x})-{\frac {\pi }{2}}={\frac {\pi }{2}}-2\operatorname {arccot}(e^{x})\\&=2\arctan \left(\tanh {\frac {x}{2}}\right)\\&=\mathrm {arccot} \left(\mathrm {csch} \,x\right)\\\end{aligned}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d49ed1a51fce5d66af84e80a72e9d952704f7de6)
(
僅在arccot的值域設為
時成立,參見反餘切。)
有以下恆等式:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \left({\mbox{gd}}x\right)&=\tanh x;&\quad \cos \left({\mbox{gd}}x\right)&={\mbox{sech}}x\\\tan \left({\mbox{gd}}x\right)&=\sinh x;&\quad \sec \left({\mbox{gd}}x\right)&=\cosh x\\\cot \left({\mbox{gd}}x\right)&={\mbox{csch}}x;&\quad \csc \left({\mbox{gd}}x\right)&=\coth x\\\tan \left({\frac {{\mbox{gd}}x}{2}}\right)&=\tanh {\frac {x}{2}};&\quad \cot \left({\frac {{\mbox{gd}}x}{2}}\right)&=\coth {\frac {x}{2}}\\\end{aligned}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6349e437737452c47afe09d8962fc686cc4596b3)
反函數
古德曼函數的反函數,圖中的藍色直線為漸近線
。
古德曼函數之反函數的定義為:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{arcgd}}x&={\rm {gd}}^{-1}x=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\cos t}}\qquad -\pi /2<x<\pi /2\\&=\mathrm {arctanh} \,(\sin x)=\mathrm {arcsinh} \,(\tan x)\\&=\mathrm {arccoth} \,(\csc x)=\mathrm {arccsch} \,(\cot x)\\&={\mbox{sgn}}(x)\cdot \mathrm {arccosh} \,(\sec x)={\mbox{sgn}}(x)\cdot \mathrm {arcsech} \,(\cos x)\\&=2\mathrm {arctanh} \left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\\&={}\ln \left|\sec x(1+\sin x)\right|\\&={}\ln \left|\tan x+\sec x\right|=\ln \left|\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {x}{2}}\right)\right|\\&={}{\frac {1}{2}}\ln \left|{\frac {1+\sin x}{1-\sin x}}\right|\end{aligned}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dc586508ba45a129d45814926522ef39d946fc6)
有以下恆等式:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh \left({\mbox{gd}}^{-1}x\right)&=\tan x;&\quad \cosh \left({\mbox{gd}}^{-1}x\right)&=\sec x\\\tanh \left({\mbox{gd}}^{-1}x\right)&=\sin x;&\quad \;{\mbox{sech}}\left({\mbox{gd}}^{-1}x\right)&=\cos x\\\coth \left({\mbox{gd}}^{-1}x\right)&=\csc x;&\quad \,{\mbox{csch}}\left({\mbox{gd}}^{-1}x\right)&=\cot x\\\tanh \left({\frac {{\mbox{gd}}^{-1}x}{2}}\right)&=\tan {\frac {x}{2}};&\quad \,\coth \left({\frac {{\mbox{gd}}^{-1}x}{2}}\right)&=\cot {\frac {x}{2}}\\\end{aligned}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5b384f07bea38efba8abb90a071699160bf9308)
餘函數
古德曼函數的餘函數
古德曼函數之餘函數的定義為:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{cogd}}x&={\begin{cases}\int _{\infty }^{x}{\frac {dt}{\sinh t}}\qquad 0<x<\infty \!\,\\\int _{x}^{-\infty }{\frac {dt}{\sinh t}}\qquad -\infty <x<0\!\,\end{cases}}\\&=-{\mbox{sgn}}(x)\cdot \ln \left|\tanh {x \over 2}\right|\\&={\mbox{sgn}}(x)\cdot \ln \left|\coth x+{\mbox{csch}}x\right|\\&=2{\mbox{artanh}}(e^{-\left|x\right|})\cdot {\mbox{sgn}}(x)=2{\mbox{arcoth}}(e^{\left|x\right|})\cdot {\mbox{sgn}}(x)\\&={\mbox{cogd}}^{-1}x\\\end{aligned}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e22071d55206d6ef50f27a9f037f1b71ff69b60a)
有以下恆等式:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh \left({\mbox{cogd}}x\right)&={\mbox{csch}}x;&\quad \;\cosh \left({\mbox{cogd}}x\right)&=\coth \left|x\right|\\\tanh \left(\left|{\mbox{cogd}}x\right|\right)&={\mbox{sech}}x;&\quad \;{\mbox{sech}}\left({\mbox{cogd}}x\right)&=\tanh \left|x\right|\\\coth \left(\left|{\mbox{cogd}}x\right|\right)&=\cosh x;&\quad \,{\mbox{csch}}\left({\mbox{cogd}}x\right)&=\sinh x\\\end{aligned}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d2c7f280745800a54b81e01bc95d697062a671c)
微分
它們的導數分別為:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}{\mbox{gd}}x={\mbox{sech}}x;\quad {\frac {d}{dx}}{\mbox{arcgd}}x=\sec x;\quad {\frac {d}{dx}}{\mbox{cogd}}x=-{\mbox{csch}}\left|x\right|\\\end{aligned}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bdd0516f1d86c2ad9d8ce8c77d6f9436e01accc)
應用
![{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-{\mbox{gd}}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d91d271d2151b57b99a412bd83ef5f3857fe05c)
- 定義了平行角函數。
- 在使用麥卡托投影法的地圖,若以
表示一個地點在地圖跟赤道的距離,則其緯度
和
的關係為:
![{\displaystyle \phi ={\mbox{gd}}(y)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/872ef23955d8124e22db9e4305994cef296b9f40)
參考
發現者的生平
克里斯托夫·古德曼(Christof Gudermann,1798年–1852年)是德國數學家,是高斯的學生,卡爾·魏爾施特拉斯的老師。[1] (页面存档备份,存于互联网档案馆)[2] (页面存档备份,存于互联网档案馆)