拉東變換

拉東變換將函數 $f(x,y)$ 映射到$f(\alpha ,s)$。

本圖是將下圖做拉東變換後得到的影像，越亮的區域代表值越大，黑色的區域為0。

原始函數是白色區域為1，黑色區域為0。

數學上，拉東變換（又稱雷登變換）是一種積分變換，這個變換將二維平面函數$f$變換成一個定義在二維空間上的一個線性函數${\cal {R}}f$(${\cal {R}}f$的意思是對$f$做拉東變換)，而${\cal {R}}f$的值為函數$f$對該條線${\cal {R}}f$做積分的值。以右圖為例，黃色區域即是$f$，$A$線則是代表${\cal {R}}f$。

拉東變換是约翰·拉东在西元1917年提出，他也同時提出拉東變換的反變換公式，以及三次空間的拉東變換公式。 三次空間拉東變換，是對一個平面積分(對線積分則是X射线变换)。而在不久之後，更高維度的歐幾里得空間的拉東變換被提出，更詳盡的廣義拉東變換要参见Integral geometry。 在複數上有和拉東變換相似的Penrose变换，拉東變換被廣泛的應用在斷層掃描，拉東反變換可以從斷層掃描的剖面圖重建出投影前的函數。

簡介

若函數$f$表示一個未知的密度，對$f$做拉東變換，相當於得到$f$投影後的訊號，舉例來說：$f$相當於人體組織，斷層掃描的輸出訊號相當於經過拉東變換的$f$。 因此，可以用拉東反變換從投影後的密度函數，重建原始的密度函數，它也是重建斷層掃描的數學理論基礎，另一個被廣為人知名詞的是三維重建。

拉東變換後的訊號稱作正弦圖（sinogram），因為一個偏離中心的點的拉東變換是一條正弦曲線。所以對一些小點的拉東變換，會看起來像很多不同振福、相位的正弦函數重疊在一起。

拉東變換可以應用在：X射線電腦斷層掃描、條碼掃描器、大分子装配（Macromolecular assembly）的電子顯微鏡（例如：病毒、蛋白質複合體）、反射地震学，而且也是雙曲線偏微分方程的解。

定義

令密度函數$f({\bf {x}})=f(x,y)$是一個的定義域為 ${\bf {R}}^{2}$ 的緊支撐。令${\cal {R}}$為拉東變換的運算子(operator)，則${\cal {R}}f(x,y)$是一個定義在 ${\bf {R}}^{2}$空間中的直線$L$，它的定義如下

${\cal {R}}f(L)=\int _{L}f({\bf {x}})|d{\bf {x}}|$

可以把直線 $L$改寫成一個弧長$z$的參數式

$(x(z),y(z))={\Big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\Big )}\,$

$s$是直線$L$和原點的距離，而$\alpha$是垂直於$L$的法線和$x$軸的夾角， 接下來，我們可以令$(\alpha ,s)$當作${\bf {R}}^{2}$平面上的新座標系統，把這個座標變換帶入到拉東變換得到

${\begin{aligned}{\cal {R}}f(\alpha ,s)&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x(z),y(z))\,dz\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f{\big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\big )}\,dz\end{aligned}}$

更進一步，我們可以把${\bf {R}}^{2}$推廣到${\bf {R}}^{n}$的歐幾里得空間，對一個緊支撐的連續函數$f$做拉東變換後的函數${\cal {R}}f$是定義在 $\Sigma _{n}$的超平面上，

${\cal {R}}f(\xi )=\int _{\xi }f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} ),\quad {\rm {for}}\quad \xi \in \Sigma _{n}$

積分的對象是自然超平面測度(natural hypersurface measure)，而$d\Delta$是原本的$|d{\bf {x}}|$的高維推廣。可以觀察到對$\Sigma _{n}$裡的任意元素， 都是某個軌跡方程式的解

${\bf {x}}\cdot \alpha =s.$

而$\alpha$是一個單位向量且屬於${\rm {S}}^{n-1}$，$s\in \mathbb {R}$，n維的拉東變換可以改寫成定義在 ${\rm {S}}^{n-1}\times {\bf {R}}$上的函數

${\cal {R}}f(\alpha ,s)=\int _{\mathbf {x} \cdot \alpha =s}f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} )$

也可以藉由其他方式將拉東變換推廣，也就是對${\bf {R}}^{n}$的k維仿射子空間作(k-dimensional affine subspaces)積分。 而這種推廣拉東變換的特殊情況被廣泛應用在X射線電腦斷層掃描，他的做法是對一條直線積分。

與傅立葉變換的關係

主条目：投影切片定理

拉東變換和傅立葉變換之間有很強的關聯性。單變數的傅立葉變換的定義是

${\hat {f}}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\omega }\,dx$

而雙變數$({\bf {x}})=(x,y)$的傅立葉變換是

${\hat {f}}(\mathbf {w} )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\mathbf {x} )e^{-2\pi i\mathbf {x} \cdot \mathbf {w} }\,dx\,dy$

把拉東變換的運算子的表記從${\cal {R}}[f](s)$ 改成 ${\cal {R}}[f](\alpha ,s)$。根據投影切片定理學說，

${\widehat {{\mathcal {R}}_{\alpha }[f]}}(\sigma )={\hat {f}}(\sigma \mathbf {n} (\alpha )),\quad \mathbf {n} (\alpha )=(\cos \alpha ,\sin \alpha )$

因此一個初始函數沿著一條線傾角$\alpha$的二維的傅立葉變換，相當於對拉東變換做一維的傅立葉變換。這個結果可以推廣到n維

${\hat {f}}(r\alpha )=\int _{-\infty }^{\infty }{\mathcal {R}}f(\alpha ,s)e^{-2\pi isr}\,ds$

對偶變換

對偶拉東變換是拉東變換的埃爾米特伴隨。令在空間$\Sigma _{n}$上的函數$g$，而對偶拉東變換的運算子定義為${\cal {R}}^{*}$。作用在$g$上

${\mathcal {R}}^{*}g(x)=\int _{x\in \xi }g(\xi )\,d\mu (\xi )$

積分的範圍是所有和$x\in {\bf {R}}^{2}$相交的超平面集合，而測度(measure)$d\mu$是集合$\xi |x\in \xi$特殊的機率測度(Probability measure)， 當對著$x$旋轉時，$d\mu$的值不會改變

對於一個二維的拉東變換，其對偶變換是

${\mathcal {R}}^{*}g(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\alpha =0}^{2\pi }g(\alpha ,\mathbf {n} (\alpha )\cdot \mathbf {x} )\,d\alpha$

在影像處理的文章中，對偶變換經常被稱作反向投影(back-projection) ，因为它将平面中每条线上定义的函数 投影到该线上，从而生成图像。

交結性質

根據拉普拉斯算子$\Delta$在 ${\bf {R}}^{n}$的定義是

$\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}$

這是一個旋轉不變性的二階微分算子，在空間$\Sigma _{n}$，半徑的二階導數

$Lf(\alpha ,s)\equiv {\frac {\partial ^{2}}{\partial s^{2}}}f(\alpha ,s)$

也是旋轉不變性。 而拉東變換與其對偶變換屬於交結運算子(intertwining operator)，是因為

${\mathcal {R}}(\Delta f)=L({\mathcal {R}}f),\quad {\mathcal {R}}^{*}(Lg)=\Delta ({\mathcal {R}}^{*}g)$

重建方法

重建處理是指從投影影像重建一個影像，或是一個函數$f$。重建處理是一種逆問題(inverse problem)。

拉東反變換公式

對於二維拉東變換，最常被使用的解析公式(analytical formula)$f$，是Filtered Backprojection Formula或拉東反變換公式，反變換公式為

$f(\mathbf {x} )=\int _{0}^{\pi }({\mathcal {R}}f(\cdot ,\theta )*h)(\left\langle \mathbf {x} ,\mathbf {n} _{\theta }\right\rangle )d\theta$

函數$h$滿足${\hat {h}}(k)=|k|$，卷積核 (convolution kernel) $h$在一些文章中稱作Ramp filter。

不適定問題 (ill-posedness)

直覺上，反變換公式應該和微分類似，${\widehat {\frac {d}{dx}}}f(x)=ik{\hat {f}}(k)$。我們可以看的出來反變換公式 的行為類似微分。大致上來說，這個反變換公式把目標奇異化(singular)；要如何量化拉東反轉化的不適定問題 (ill-posedness)呢？首先可以寫出

${\widehat {{\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}g}}(k)={\frac {1}{||\mathbf {k} ||}}{\hat {g}}(\mathbf {k} )$

${\cal {R}}^{*}$即是前面定義的反變換運算子，且伴隨著(adjoint to)拉東變換，因此$g({\bf {x}})=e^{i\langle {\bf {k}}_{0},{\bf {x}}\rangle }$，上式變成

${\cal {R}}^{*}{\cal {R}}g={\frac {1}{||{\bf {k}}||}}e^{i\langle {\bf {k}}_{0},{\bf {x}}\rangle }$

複數指數函數$e^{i\langle {\bf {k}}_{0},{\bf {x}}\rangle }$，是${\cal {R}}^{*}{\cal {R}}$的固有函數 (eigenfunction) ， 而特徵值 (eigenvalue)為${\frac {1}{||{\bf {k}}||}}$。${\cal {R}}$的奇異值 (singular values) 是${\sqrt {\frac {1}{||{\bf {k}}||}}}$， 因為這些奇異值 (singular values)會趨近於0，所以${\cal {R}}^{-1}$是無界的(unbounded) 。

反變換公式

外顯(explicit)且計算效率好的拉東反變換公式，以及他的對偶是存在的。n維的反拉東變換可以由

$c_{n}f=(-\Delta )^{(n-1)/2}{\cal {R}}^{*}\{{\cal {R}}f\}$

其中

$c_{n}=(4\pi )^{(n-1)/2}{\frac {\Gamma (n/2)}{\Gamma (1/2)}}$

而$\Delta$是拉普拉斯算子(Laplacian)，$(-\Delta )^{(n-1)/2}$是偽微分算子(pseudodifferential operator)

${\mathcal {F}}\left[(-\Delta )^{(n-1)/2}\phi \right](\xi )=|2\pi \xi |^{n-1}{\mathcal {F}}\phi (\xi ).$

${\mathcal {F}}$是傅立葉變換的運算子(operator)。

參見

• 反摺積
• X-ray變換
• Funk變換
• 霍夫變換
• 疊代稀疏漸近最小方差算法

參考

• Deans, Stanley R., The Radon Transform and Some of Its Applications, New York: John Wiley & Sons, 1983 .
• Helgason, Sigurdur, Geometric analysis on symmetric spaces, Mathematical Surveys and Monographs 39 2nd, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2008, ISBN 978-0-8218-4530-1, MR 2463854 .
• Helgason, Sigurdur, Groups and Geometric Analysis: Integral Geometry, Invariant Differential Operators, and Spherical Functions, Academic Press, 1984, ISBN 0-12-338301-3 .
• Herman, Gabor T., Fundamentals of Computerized Tomography: Image Reconstruction from Projections 2nd, Springer, 2009, ISBN 978-1-85233-617-2 .
• Minlos, R.A., Radon transform, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .
• Natterer, Frank, The Mathematics of Computerized Tomography, Classics in Applied Mathematics 32, Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 0-89871-493-1 
• Natterer, Frank; Wübbeling, Frank, Mathematical Methods in Image Reconstruction, Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 0-89871-472-9 .
• Radon, Johann, Über die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten, Berichte über die Verhandlungen der Königlich-Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig, Mathematisch-Physische Klasse [Reports on the proceedings of the Royal Saxonian Academy of Sciences at Leipzig, mathematical and physical section] (Leipzig: Teubner), 1917, (69): 262–277 ; Translation: Radon, J.; Parks, P.C. (translator), On the determination of functions from their integral values along certain manifolds, IEEE Transactions on Medical Imaging, 1986, 5 (4): 170–176, PMID 18244009, doi:10.1109/TMI.1986.4307775 .
• Roerdink, J.B.T.M., Tomography, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .
• 埃里克·韦斯坦因. 拉東變換. MathWorld. .