有理函數(英語:Rational function)是可以表示為以下形式的函數:
,
不全為0。
有理數式是多項式除法的商,有時稱為代數分數。
漸近線
- 不失一般性可假設分子、分母互質。若存在
,使得
是分母
的因子,則有理函數存在垂直漸近線
。
- 若
,有水平漸近線
。
- 若
,有水平漸近線
。
- 若
,有斜漸近線
。
只有一条水平渐近线
泰勒級數
有理函數的泰勒級數的係數滿足一個線性遞歸關係。反之,若一個泰勒級數的係數滿足一個線性遞歸關係,它對應的函數是有理函數。
部分分式
部分分式,又稱部分分數、分項分式,是將有理數式分拆成數個有理數式的技巧。
有理數式可分為真分式、假分式和帶分式,這和一般分數中的真分數、假分數和帶分數的概念相近。真分式分子的次數少於分母的。
若有理數式
的分母
可分解為數個多項式的積,其部分分數便是
,其中
是
的因子,
是次數不大於Q(x)/h_n(x)的多項式。
例子
- 分拆
![{\displaystyle {\frac {x^{3}-5x+88}{x^{2}+3x-28}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/533f8cf8fd72d92435df797b378c1f4d1ba74272)
分子的次數是3,分母的是2,所以先將它轉成真分式和多項式的和(即帶分式):
因為
,所以
其中A和B是常数。两边乘以
,得
即
比較係數,得
解得
。
故:
也可以把x的特殊值代入等式来解出A和B。例如,当x=4时,我们有
当x=-7时,我们有
應用
積分
部分分數
在計算有理數式的積分時,部分分數的方法很有用,因為分母的1和2次多項式的有理數式的積分都有固定的方法計算。
- 分母為1次多項式:求
。
設
:
![{\displaystyle {\frac {du}{dx}}=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d521777d8ec1f3c28761c36cabfda0c0dbb1335)
![{\displaystyle {\frac {du}{a}}=dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc8cf9f13173b06368f8176855796d972274c852)
原式變為
![{\displaystyle \int {\frac {1}{u}}{\frac {du}{a}}={\frac {1}{a}}\int {\frac {1}{u}}{du}={\frac {\ln \left|u\right|}{a}}+C={\frac {\ln \left|ax+b\right|}{a}}+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6d6a3f4cb93b0bce45f3d4d3b53c4cae4faca16)
- 分母次數為2:求
。
若多項式
可分解為兩個一次多項式的積(即
),則可用部分分數的方法解決。若多項式不可分解,則將它配方,再用各種替代法解決。
例如:
![{\displaystyle \int {x+6 \over x^{2}-8x+25}\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/219aa2b1cd73698571fa1265f48666f49ded5932)
因為
![{\displaystyle x^{2}-8x+25=(x^{2}-8x+16)+9=(x-4)^{2}+9\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29bb2bdc1d2e7f3318477769296f809bfe188013)
考慮
![{\displaystyle u=x^{2}-8x+25\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11680124e620882424431557354ee3daa47ad7e7)
![{\displaystyle du=(2x-8)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54462cca565df2487d8d02e91c3105043cbfa441)
![{\displaystyle du/2=(x-4)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4e70ab011c61268f7423a47833cb6d4ee86faf0)
將分子分解,以便應用上面的替換:
![{\displaystyle \int {x-4 \over x^{2}-8x+25}\,dx+\int {10 \over x^{2}-8x+25}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95cf25953fefd49cd3ce096aab8c03d21676f7d1)
左邊:
![{\displaystyle \int {x-4 \over x^{2}-8x+25}\,dx=\int {du/2 \over u}={1 \over 2}\ln \left|u\right|+C={1 \over 2}\ln(x^{2}-8x+25)+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13a3feb118b127873ebb6b153b1661160daab9a1)
另一邊:
![{\displaystyle \int {10 \over x^{2}-8x+25}\,dx=\int {10 \over (x-4)^{2}+9}\,dx=\int {10/9 \over \left({x-4 \over 3}\right)^{2}+1}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a43105985e41b7d4c7852504f9182dfcea1a77a)
代入
![{\displaystyle w=(x-4)/3\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26a0a32107f9e4bcd3229954e21baaad23ef1f0a)
![{\displaystyle dw=dx/3\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a12f9836c3d1a9a5e88fbe6977ca1c7868d6ddd6)
![{\displaystyle {10 \over 3}\int {dw \over w^{2}+1}={10 \over 3}\arctan(w)+C={10 \over 3}\arctan \left({x-4 \over 3}\right)+C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efaef131098fda150662bfb657999262892b0283)
另一種可行的代入方法是:
![{\displaystyle \tan \theta ={x-4 \over 3},\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67e3f9e7ee97c1531b34c450da7b9d97708e5580)
![{\displaystyle \left({x-4 \over 3}\right)^{2}+1=\tan ^{2}\theta +1=\sec ^{2}\theta ,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/980685f1afff294f4f1f3ffb877c124b56627e2b)
![{\displaystyle d\tan \theta =\sec ^{2}\theta \,d\theta ={dx \over 3}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2f00ab22588df11fc1965d9d54ac5ff6e2497c4)
奧斯特羅格拉茨基方法
奧斯特羅格拉茨基方法(Ostrogradsky Algorithm / Ostrogradsky's Method)是這樣的:
設求積的有理函數為
,其中
是多項式,
(
的次數少於
)。設
為Q的導數Q'和Q的最大公因數,
。則有:
![{\displaystyle \int {\frac {P}{Q}}dx={\frac {P_{1}}{Q_{1}}}+\int {\frac {P_{2}}{Q_{2}}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c972139df065bc79fa47b9945fc4f9fb1c75c96)
其中
為多項式,
。
應用例子
- 求
。
![{\displaystyle Q=(x-1)^{2}(x+1)^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43b3bc8a83cfdf0704d3ff25d50b66f43bdbe409)
![{\displaystyle Q'=2(x-1)(x+1)^{3}+3(x-1)^{2}(x+1)^{2}=(x-1)(x+1)^{2}(5x-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbc28c4ee47b2434b14e3452dad211cde4ba3769)
![{\displaystyle Q_{1}=gcd(Q,Q')=(x-1)(x+1)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c37e7f1bd77c5f7e0ab769e2d5d9f52f55e71fa)
![{\displaystyle Q_{2}=Q/Q_{1}=(x-1)(x+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f70bd5a793509a5a76c00756d827eba546aac857)
設
![{\displaystyle \int {\frac {xdx}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}={\frac {Ax^{2}+Bx+C}{(x-1)(x+1)^{2}}}+\int {\frac {Dx+E}{(x-1)(x+1)}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/521b810347f4f9161396f5a0da515fcc35891ba5)
兩邊取導數:
![{\displaystyle {\frac {x}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}={\frac {Ax^{3}+(2B-A)x^{2}+(3C-B+2A)x-C+B}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}+{\frac {Dx+E}{(x-1)(x+1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e2d8f98ce7327339aa21af3802d7b202a80f5fa)
通分母,右邊的分子為:
![{\displaystyle Dx^{4}+(E+D-A)x^{3}+(E-D-2B+A)x^{2}+(-E-D-3C+B-2A)x-E+C-B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49456a5b854c26f7ce4420b0bff9e3699d9a442f)
比較分子的多項式的係數,得
。於是有
![{\displaystyle \int {\frac {xdx}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}={\frac {x^{2}+x+2}{8(1-x)(x+1)^{2}}}+\int {\frac {dx}{8(x-1)(x+1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbea4859a6aa03d5ca2a74df5a88443fcdc1fd81)
後者可用部分分數的方法求得。
證明
![{\displaystyle \int {\frac {P}{Q}}dx={\frac {P_{1}}{Q_{1}}}+\int {\frac {P_{2}}{Q_{2}}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c972139df065bc79fa47b9945fc4f9fb1c75c96)
![{\displaystyle {\frac {P}{Q}}={\frac {P'_{1}-{\frac {Q'_{1}P_{1}}{Q_{1}}}}{Q_{1}}}+{\frac {P_{2}}{Q_{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/779339702b9ad397fb5fcb613df77aa2ff0b6edf)
兩邊乘以
![{\displaystyle P=P'_{1}Q_{2}-{\frac {Q'_{1}Q_{2}P_{1}}{Q_{1}}}+P_{2}Q_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/181f26cc0cbd8e8a112634df13961deb94cc414f)
由於
,而
和
都是
的倍數,所以
是多項式。
比較兩邊多項式的次數:
![{\displaystyle \deg(P)\leq \deg(Q)-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4eb3dacbe9bd7f3ee972c0b592cd384e2e6fbd6)
![{\displaystyle \deg(P'_{1}Q_{2}\leq (\deg(Q_{1})-1)+(\deg(Q)-\deg(Q_{1}))=\deg(Q)-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/869ae4023b9094e1ab19920426e4f92f3edf9e76)
![{\displaystyle \deg({\frac {Q'_{1}Q_{2}P_{1}}{Q_{1}}})\leq (\deg(Q_{1})-1)+(\deg(Q)-\deg(Q_{1}))+(\deg(Q_{1})-1)-\deg(Q_{1})=\deg(Q)-2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2edb50eff6551a6f5f698d76393531b838043ff)
![{\displaystyle \deg(P_{2}Q_{1})\leq (\deg(Q)-\deg(Q_{1})-1)+\deg(Q_{1})=\deg(Q)-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e05de168a1657287812726cd15c2a5406ff6b79d)
因此
有解。
Hermite方法
應用
參考