泛函分析中,有限秩算子(英語:Finite-rank operator)是巴拿赫空间之间,像的维数有限的有界线性算子。[1]
希爾伯特空間中
典範型
有限秩算子類似有限大小的矩陣,但是放在無窮維空間中。於是,可藉線性代數技巧刻畫其性質。
由線性代數知,複矩陣
之秩為1,當且僅當
可以寫成:
其中
且 ![{\displaystyle \alpha \geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9e01f6a4360f062e662779cb235d41c7c68a557)
同樣可證希氏空間
上,算子
之秩為1,當且僅當
![{\displaystyle Th=\alpha \langle h,v\rangle u\quad \forall h\in H,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6480aa99c3a14b5d47664e2382a0a0b551a1f96a)
其中
與有限維情況滿足同等條件。由此,用數學歸納法,可證秩
的算子
必可寫成
![{\displaystyle Th=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\langle h,v_{i}\rangle u_{i}\quad \forall h\in H,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c844752f46ccc74f8c42a4c7e3471b484634214)
其中
和
皆為标准正交基。前述表示法實質等同於奇异值分解,可以稱為有限秩算子的「典範型」(canonical form)。
略加推廣,若
改為可數無窮,而正實數列
僅會聚於0,則
為緊算子,相應的和式稱為緊算子的典範型。
若級數
(跡)收斂,則
是迹类算子。
代數性質
希氏空間
上,全體有限秩算子之族
是有界算子代數
的雙邊*理想。此外,其為此類(非零)理想中最小者,即
的任何雙邊*理想
必包含全體有限秩算子。簡證如下:取非零算子
,則有非零的
使
。衹需證對任意
,將
映至
的秩1算子
屬於
。同樣定義
和
,則有
![{\displaystyle S_{h,k}=S_{g,k}TS_{h,f},\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf29c11fb703f2bd4ddc81b5202d4c3bbaad2420)
從而
在
中,證畢。
的雙邊*理想舉例有跡類、希尔伯特-施密特算子類、紧算子類。三類各自配備範數,而
在此三個賦範空間中稠密。
由於
的每個雙邊理想都包含
,
為單代數當且僅當有限維。
巴拿赫空間中
巴拿赫空间
之間的有限秩算子
是值域僅得有限維的有界算子。與希氏空間的情況一樣,可以寫成
![{\displaystyle Th=\sum _{i=1}^{n}\langle u_{i},h\rangle v_{i}\quad \forall h\in U,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eceab45b5db74c45052d42d34d4a3ac091dc9102)
其中
,但由於
中沒有定義內積,
換成
上的有界線性泛函。
有界線性泛函是有限秩算子的特例,其秩為1。
參考文獻