积分第一中值定理

中值定理
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积分第一中值定理的内容为：

设 $f:[a,b]\rightarrow \mathbf {R}$ 为一连续函数， $g:[a,b]\rightarrow \mathbf {R}$ 要求g(x)是可积函数且在积分区间不变号，那么存在一点 $\xi \in [a,b]$ 使得

\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=f(\xi )\int _{a}^{b}g(x)\,dx

。

事实上，可以证明，上述的中值点 $\xi$ 必能在开区间 $(a,b)$ 内取得^[1]，见下方中值点在开区间内存在的证明。

证明

因为 $f\$ 是闭区间上的连续函数， $f\$ 取得最大值 $\mathrm {M} \$ 和最小值 $\mu \$ 。于是

\mathrm {M} g(x)\geq f(x)g(x)\geq \mu g(x)

。

对不等式求积分，我们有

\mathrm {M} \int _{\alpha }^{\beta }g(x){\rm {d}}x\geq \int _{\alpha }^{\beta }f(x)g(x){\rm {d}}x\geq \mu \int _{\alpha }^{\beta }g(x){\rm {d}}x

。

若 $\int _{\alpha }^{\beta }g(x){\rm {d}}x=0$ ，则 $\int _{\alpha }^{\beta }f(x)g(x){\rm {d}}x=0$ 。 $\xi \$ 可取 $[\alpha ,\beta ]\$ 上任一点。

设 $\int _{\alpha }^{\beta }g(x){\rm {d}}x>0$ ，那么

\mathrm {M} \geq {\frac {\int _{\alpha }^{\beta }f(x)g(x){\rm {d}}x}{\int _{\alpha }^{\beta }g(x){\rm {d}}x}}\geq \mu

。

因为 $\mathrm {M} \geq f(x)\geq \mu$ 是连续函数，根據介值定理，必存在一点 $\xi \in [\alpha ,\beta ]$ ，使得

f(\xi )={\frac {\int _{\alpha }^{\beta }f(x)g(x){\rm {d}}x}{\int _{\alpha }^{\beta }g(x){\rm {d}}x}}

。

中值点在开区间内存在的证明

已知 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，设 $F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt$ 。

知 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，应用拉格朗日中值定理，可得：

{\dfrac {F(b)-F(a)}{b-a}}=F'(\xi )

，其中

\xi \in (a,b)

即

{\dfrac {\int _{a}^{b}f(t)\,dt-\int _{a}^{a}f(t)\,dt}{b-a}}=f(\xi )

所以

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=f(\xi )(b-a),\xi \in (a,b)

。

参考文献

^ 华东师范大学数学系. 数学分析上册第三版. 高等教育出版社. 2006: 第219页.

由微积分基本性质，当被积函数在[a,b]上连续时，原函数在[a,b]上是可导的，而拉格朗日定理的假设是“f(x)在（a,b）内可导" 所以原文中“知F(x)在[a,b]上连续，在[a,b]内可导，应用拉格朗日中值定理，可得：”应该改为 “知F(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，应用拉格朗日中值定理，可得：” 否则无法排除ξ只取在a或者b上的可能

此说法并不严密。现根据以上对原定理的证明，来解释为什么 $\xi \in [a,b]$ 可以改为 $\xi \in (a,b)$ 。因为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，所以 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有最大值 $M$ 和最小值 $m$ 。设 $f(x_{1})=m$ ， $f(x_{2})=M$ ， $x_{1}$ ， $x_{2}$ $\in [a,b]$ ，如果 $m=M$ ，则 $f(x)$ 是常值函数，任取 $\xi \in (a,b)$ 即可。如果 $m<M$ ，由于函数 $M-f(x)$ 连续且有一点 $x_{1}$ 使 $M-f(x_{1})>0$ ，所以由积分性质有 $\int _{a}^{b}[M-f(x)]\,dx>0$ ，即