拉格朗日中值定理

中值定理
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拉格朗日中值定理，也簡稱均值定理，是以法国数学家约瑟夫·拉格朗日命名，為罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形。拉格朗日中值定理也叫做有限增量定理。

内容

文字叙述

如果函数$f(x)$满足：

1. 在闭区间$[a,b]$上连续;
2. 在开区间$(a,b)$内可微分;

那么至少有一点 $\xi ,\;a<\xi <b$，使下面等式成立

。

证明

拉格朗日中值定理的几何意义：函數$f(x)$在點$\xi$處的切線，平行於$f(a)$和$f(b)$兩點之間的連線。

令$g(x)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\cdot (x-a)+f(a)-f(x)$。那么

1. $g$在$[a,b]$上连续，
2. $g$在$(a,b)$上可微（导），
3. $g(a)=g(b)=0$。由罗尔定理，存在至少一点$\xi \in (a,b)$，使得$g'(\xi )=0$。即$f'(\xi )={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$。

其他形式

1.$f(b)-f(a)=f^{\prime }(a+\theta (b-a))(b-a),0<\theta <1$;

2. $f(a+h)-f(a)=f^{\prime }(a+\theta h)h,0<\theta <1$. 或 $f(x+\Delta x)-f(x)=f^{\prime }(x+\theta \Delta x)\Delta x,0<\theta <1$.

另请参见

• 中值定理