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蚌线

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绿色为直线,黑色为直线外一点,所有红色线段和蓝色线段的长度均相等。紫色和橙色曲线是绿色直线关于黑色点的蚌线,紫色为内支,橙色为外支
极点和原直线不变、迹距不同的一系列蚌线

平面几何中,蚌线是一类曲线,可以由一条给定的曲线、一个定点和一个给定的长度来确定。更具体地说,过定点 的动直线与给定曲线 相交,动直线上满足“与交点距离为定长 ”的点的轨迹定出的新曲线,就是原曲线 关于极点 和迹距 的蚌线。[1][2][3]

解析几何的方式来表述:平面曲线 极坐标方程为 ,则以 为方程的曲线是 关于原点的蚌线。[4]

“蚌线”也常特指原曲线为直线的蚌线,即尼科美迪斯蚌线[5]尼科美迪斯英语Nicomedes (mathematician)是古希腊数学家,他利用这种蚌线来解决古希腊数学三大难题中的两个——三等分角倍立方体[6]

尼科美迪斯蚌线

灰色为直线,黑色为蚌线的极点
  迹距小于极点与直线的距离,极点与内支分离
  迹距等于极点与直线的距离,极点是内支的尖点
  迹距大于极点与直线的距离,极点是内支的结点

性质

有定直线 和直线外一固定点 ,过点 的动直线与 相交,动直线上满足“与交点距离为定长”的点的轨迹,就是直线 关于极点 的蚌线 ,即尼科美迪斯蚌线。一条尼科美迪斯蚌线有内外两支,两支的渐近线都为 [4][5]

通常记 与点 的距离为 ,迹距为 。根据 的关系,内支有三种不同形态:[4]

  • 时,蚌线内支没有尖点或结点,极点与内支不相交。
  • 时,蚌线内支有一个尖点,尖点与极点重合。
  • 时,蚌线内支有一个结点,结点与极点重合。

尼科美迪斯蚌线是轴对称图形,对称轴与 垂直并通过极点 [3]

历史和应用

尼科米迪斯发明的工具,用来绘制直线蚌线的外支

古希腊数学家尼科美迪斯英语Nicomedes (mathematician)是最早研究蚌线的人。他发明了绘制直线之蚌线的工具,这是人们第一次用仪器绘制出直线和圆之外的几何曲线。他关于蚌线的论著已经失传,只有一部分通过帕普斯的《数学汇编》得以保存下来。帕普斯指出,存在“四种”蚌线,但只记录了“第一种”蚌线,也就是直线蚌线的外支,用来解决尺规作图三大难题中的两个:三等分角倍立方体。剩下的“三种”蚌线,很可能指的是直线蚌线内支的三种形态。[7][6]

帕普斯将该曲线称为“螺线”(κοχλοειδὴς γραμμή),这很可能是尼科美迪斯最初的叫法。后来的普罗克洛等人才改称该曲线为“蚌线”(κογχοειδὴς γραμμή)。[7]

17世纪的大数学家艾萨克·牛顿认为蚌线是仅次于直线和圆的、定义第三简洁的曲线,并利用蚌线构造出多种三次平面曲线。但及至当代,蚌线变得很少被数学家研究和关注。[8][9]

倍立方体

借助蚌线作出长度为的线段

作线段 。以点 圆心半径,以点 为圆心、 为半径作圆,交于点

过点 作线段 垂线 。以点 为极点、 为迹距作直线 的蚌线外支。

延长 交蚌线于点 。延长 交圆 于点 。连接 于点 。线段 的长度即为 [7]

代数证明

。显然 是正实数

因为 为直角三角形,所以

又因为 ,所以

尼科美迪斯的几何证明
作长方形
延长 ,延长 ,交于点
连接 ,交 于点 ,点 中点。
中点 ,连接
[7]

三等分角

借助蚌线三等分任意锐角

作任意直角三角形 ,点 为垂足。以点 为极点、 为迹距作直线 的蚌线外支。

过点 作直线 的垂线,交蚌线于点 就是 的三等分线。[7]

证明

的交点 。取 的中点 ,连接

根据蚌线和直角三角形的性质,可知

易证得

[7]

解析几何

极坐标系中,设点 为坐标原点,则直线 和蚌线 的方程可以表示为:[4]

直角坐标系中,设点 为坐标原点,则直线 和蚌线 的方程可以表示为:[4]

或用参数方程表示为:[4]

(上下正负号同号,

尼科美迪斯蚌线是四次平面曲线[4]

帕斯卡蜗线

帕斯卡蜗线是一类外旋轮线,同时也是一类特殊的蚌线,是关于圆上一个定点的蚌线。由于极点在原曲线上,所以蚌线的内支和外支光滑相连为一条曲线。当迹距等于圆的直径时,就是心脏线[1][2]

作圆 关于圆上一个定点 、迹距等于圆的半径的蚌线。对于圆上任意一点 ,延长 至圆外,与所作蚌线交于点 。根据蚌线的性质,易知 。这条特殊的蚌线被称为三等分角蜗线英语Limaçon_trisectrix[2]

其他蚌线

参考来源

  1. ^ 1.0 1.1 别尔曼俄语Берман,_Георгий_Николаевич. 摆线. 越民义 (译). 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社. 2019: 53-60. ISBN 978-7-5603-5834-5. 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 霍华德·伊夫斯英语Howard Eves. 数学史概论. 第6版. 欧阳峰 (译). 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社. 2009: 126. 
  3. ^ 3.0 3.1 姜康甫; 吉星. 几何画的原理和作法. 上海: 上海科学技术出版社. 1964: 289-293. 
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 布隆什坦俄语Бронштейн, Илья Николаевич; 谢缅佳也夫俄语Семендяев,_Константин_Адольфович. 数学手册. 罗零, 石峥嵘 (译). 北京: 高等教育出版社. 1965: 90-91. 
  5. ^ 5.0 5.1 高希尧. 数学术语详解词典. 西安: 陕西科学技术出版社. 1991: 20-21. ISBN 7-5369-0738-9. 
  6. ^ 6.0 6.1 莫里斯·克莱因. 古今数学思想 第1册. 张理京, 张锦炎, 江泽涵 (译). 上海: 上海科学技术出版社. 2014: 95-96. ISBN 978-7-5478-1717-9. 
  7. ^ 7.0 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 Thomas Heath英语Thomas_Heath_(classicist). A History of Greek Mathematics: Volume I, From Thales to Euclid. Oxford: Clarendon Press. 1921: 238-240, 260-262 (英语). 
  8. ^  Chisholm, Hugh (编). Conchoid. Encyclopædia Britannica 6 (第11版). London: Cambridge University Press: 826–827. 1911 (英语). 
  9. ^ 大卫·S.里奇森英语David Richeson. 不可能的几何挑战 数学求索两千年. 姜喆 (译). 北京: 人民邮电出版社. 2022: 176-179. ISBN 978-7-115-57370-4.