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*-代数

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抽象代数中,*-代数(或对合代数)是由两个对合环RA组成的数学结构,其中R是交换的,A具有R结合代数的结构。对合代数推广了带共轭的数系的概念,如复数共轭复数、复数上的矩阵共轭转置希尔伯特空间上的线性算子埃尔米特伴随

不过,代数也可能不允许任何对合[a]

定义

*-环


数学中,*-环是具有映射,这映射既是反自同构也是对合。

更确切地说,*要满足以下公理:[1]

这也称作对合环。第三条公理可从第二与第四条推出。

使的元素是自伴的。[2]

此外,还可定义代数对象的*-版本,如理想子环,要求是*-不变的:等等。

在计算理论中,*-环与星半环无关。

*-代数

*-代数A是*-环,[b]其对合*是交换*-环R上的结合代数,带有对合',使[3] 基*-环R通常是复数(其中'为共轭复数)。

据公理可知,A上的*在R中是共轭线性的,即

*-同态是与AB的对合相容的代数同态,即

  • [2]

*-运算的哲学

符号

xx*,或
xx

但不能是

例子

  • 交换环配备平凡(恒等)对合成为*-环。
  • 人们最熟悉的实数上的*-环和*-代数是复数域,共轭复数发挥对合*的作用。
  • 更一般地,通过平方根(如虚数单位)的伴随得到的域扩张是原域上的*-代数,视作平凡*-环。*可翻转平方根的符号。
  • 二次整数环(对某些D)是交换*-环,*的定义与此类似;二次域是适当二次整数环上的*-代数。
  • 四元数双曲复数二元数,可能还有其他超复数系构成*-环(带有内置的共轭运算)及实数上的*-代数(*是平凡的)。三者都不是复代数。
  • 赫维兹四元数形成非交换*-环,带有四元共轭。
  • 实数上n阶方阵的矩阵代数,*是转置
  • 复数上n阶方阵的矩阵代数,*是共轭转置
  • 其推广,即希尔伯特空间上有界线性算子代数及其埃尔米特伴随也定义了*-代数。
  • 交换平凡*-环R上的多项式环R上的*-代数,
  • 是*-环、(交换)R环上的代数,则AR上的*-代数(其中*平凡)。
    • *-环都是整数上的*-代数。
  • 交换*-环是自身的*-代数,更一般地,也是其任意*-子环的*-代数。
  • 交换*-环R对自身*-理想的R上的*-代数。
    • 例如,任意交换平凡*-环都是其对偶数环上的*-代数,即具有非平凡*的*-环,因为对的商使原环复原。
    • 交换环K及其多项式环也如此:对的商使K复原。
  • 黑克代数中,对合对卡日丹-卢斯蒂格所行驶非常重要。
  • 椭圆曲线自同态环成为整数上的*-代数,其中对合是取对偶同源。类似的构造也适于有极化的阿贝尔簇,当中称作洛萨提对合(见Milne的阿贝尔簇讲义)。

对合霍普夫代数是*-代数的重要例子(具有相容余乘法的附加结构);最常见的例子是:

反例

不是所有代数都允许对合:

考虑复数上的2阶方阵的子代数:

任何非平凡反自同构必为如下形式:[4] 对任意复数

由此可见,任何非平凡反自同构都不是幂等的:

结论是,子代数不允许任何对合。

附加结构

转置的很多性质在一般*-代数中成立:

  • 埃尔米特元素形成若尔当代数
  • 斜埃尔米特元素形成李代数;
  • 若2在*-环中可逆,则算子是正交幂等[2]称为对称与反对称,因此代数分解为对称与反对称(埃尔米特、斜埃尔米特)元素的直和(若*-环是域则为向量空间)。这些空间一般不构成结合代数,因为幂等是算子,而不是代数中的元素。

斜结构

给定*-环,有映射。由于,它并不定义*-环结构(除非特征标为2,这时−*与原*相同),也没有反乘法性,但满足其他公理(线性、对合),因此与的*-代数非常相似。

由这映射固定的元素(即满足者)称作斜埃尔米特的。

对带复共轭的复数,实数是埃尔米特元素,虚数是斜埃尔米特元素。

另见

脚注

  1. ^ 这时,“对合”指对合反自同构,也称作反对合。
  2. ^ 大多数定义不要求*-代数有乘法单位元,即*-代数可以只是*-伪环

参考文献

  1. ^ Weisstein, Eric W. C-Star Algebra. Wolfram MathWorld. 2015 [2023-12-27]. (原始内容存档于2023-05-31). 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 Baez, John. Octonions. Department of Mathematics. University of California, Riverside. 2015 [2015-01-27]. (原始内容存档于2015-03-26). 
  3. ^ nLabstar-algebra條目
  4. ^ Winker, S. K.; Wos, L.; Lusk, E. L. Semigroups, Antiautomorphisms, and Involutions: A Computer Solution to an Open Problem, I. Mathematics of Computation. 1981, 37 (156): 533–545 [2023-12-27]. ISSN 0025-5718. doi:10.2307/2007445. (原始内容存档于2023-06-13).