图 (拓扑)

拓扑学中，图指拓扑空间，由通常的图$G=(E,V)$将顶点替换为点、将边$e=xy\in E$替换为单位区间$I=[0,1]$（当中0为与x相关的点，1为与y相关的点）。即，作为拓扑空间，图恰恰是1维单纯复形，也是1维CW复形。

于是，在用于胶合的商映射下，它具有集合的商拓扑

$X_{0}\sqcup \bigsqcup _{e\in E}I_{e}$

当中$X_{0}$是0骨架（对每个顶点$x\in V$含一个点），$I_{e}$是与之胶合的闭区间，每个边$e\in E$有一个，$\sqcup$是不交并。

这空间上的拓扑即称作图拓扑。

子图与树

图X的子图是子空间$Y\subseteq X$，也是图，且节点都包含在X的0骨架中。Y是子图，当且仅当其包含来自X的顶点和边，且封闭。

若子图$T\subseteq X$作为拓扑空间可收缩，则称作树。这等同于图论中树的通常定义，即无环连通图。

性质

• 当且仅当原图是连通图，图的关联拓扑空间才连通（关于图拓扑）。
• 每个连通图X至少包含一棵极大树$T\subseteq X$，即就集合包含在X的子树上诱导的阶来说，此树是最大的。
• 若X是图，$T\subseteq X$是极大树，则基本群$\pi _{1}(X)$等于由元素$(f_{\alpha })_{\alpha \in A}$生成的自由群，当中$\{f_{\alpha }\}$双射对应于$X\setminus T$的边；事实上，X与圆的楔和同伦等价。
• 按上述方式形成与图关联的拓扑空间，相当于图范畴到拓扑空间范畴的函子。

• 每个投影到图的覆叠空间也是图。

另见

• 图同调
• 拓扑图论
• 尼尔森–施赖埃尔定理，其标准证明使用了这一概念。