平均自由程

气体分子的平均自由程（英语：mean free path）指气体分子两次碰撞之间经过的路程的统计平均值，一般用${\overline {\lambda }}\,$表示。例如，在20℃下、标准大气压（101 KPa）下，氮气分子的平均自由程约为60纳米。

理想气体分子运动示意图

理想气体分子两次碰撞之间做匀速直线运动，类似分子的平均碰撞频率，每两次碰撞之间的路程是由气体分子的自身状态决定的。气体分子的平均自由程与分子的直径或半径、分子数密度成反比。

历史

鲁道夫·克劳修斯早在1857年就引入了平均自由程的概念。后来詹姆斯·麦克斯韦在1859年推导出麦克斯韦速度分布律后，推导出了气体分子平均自由程的更为准确的计算公式。

推导

分子碰撞截面

分子之间发生碰撞，但大多数情况并非发生对心碰撞。两个碰撞的分子根据两者发生碰撞瞬间“对心”的情况，所产生的方向偏离不同。当入射分子的方向和目标分子的质心的垂直距离大于某一确定值时，就不再发生速度偏离。这时的“某一确定值”称为分子有效直径$d\,$。定义分子碰撞截面$\sigma \,$，即在这个圆形截面之外的范围射入的分子都不会发生速度方向偏离。关于这个截面，有以下方程：

$\sigma =\pi d^{2}\,$

气体分子间的平均碰撞率

单位时间内气体分子发生的碰撞次数称为平均碰撞频率，一般用${\overline {Z}}\,$表示，实验结果表示，有以下方程：

${\overline {Z}}=n\sigma v_{rel}\,$

其中，$n$是气体分子的分子数密度，$v_{rel}\,$是碰撞的相对速率。

由于入射分子和目标分子都在移动，不能够只考虑入射分子的移动速率，必需考虑入射分子对于目标分子的相对速率。如果是同种气体分子，则平均相对速率为

$v_{rel}={\sqrt {2}}{\overline {v}}\,$；

其中，${\overline {v}}\,$是气体分子平均速率。

气体分子的平均自由程的推导

设分子平均速率为${\overline {v}}\,$，则它在$t\,$时间内走过的平均路程为${\overline {v}}t\,$；另外，在这段时间内分子发生的平均碰撞次数为${\overline {Z}}t\,$，故由：

${\overline {\lambda }}={\frac {{\overline {v}}t}{{\overline {Z}}t}}\,$

当为同种气体分子时，得到

${\overline {\lambda }}={\frac {1}{{\sqrt {2}}n\sigma }}\,$

应用理想气体定律，可以得到

${\overline {\lambda }}={\frac {k_{B}T}{{\sqrt {2}}\sigma p}}\,$

其中，$k_{B}\,$是玻尔兹曼常量，$T\,$是温度，$p\,$是压强。

自由程的分布

平均自由程分布示意图

自由程从$x\,$到无穷大的分子占分子总数的比例为：

${\frac {N}{N_{0}}}=exp(-{\frac {x}{\overline {\lambda }}})\,$

自由程在$x\,$与$x+dx\,$范围内的分子占分子总数的比例为：

$-{\frac {dN}{N_{0}}}={\frac {1}{\overline {\lambda }}}exp(-{\frac {x}{\overline {\lambda }}})dx\,$

以上两式中，$N_{0}\,$是碰撞分子总数，${\overline {\lambda }}\,$是平均自由程。

相关条目

• 热学
• 麦克斯韦速度分布律
• 分子运动论

延伸阅读

• David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker. Fundamentals of Physics. John Wiley & Sons. : pp. 515–516. ISBN 978-0471105589 （英语）.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
• 赵凯华，罗蔚茵. 《新概念物理教程·热学》. 高等教育出版社. 2005. ISBN 978-7040176803 （中文（中国大陆））.