平均自由程

氣體分子的平均自由程（英語：mean free path）指氣體分子兩次碰撞之間經過的路程的統計平均值，一般用${\overline {\lambda }}\,$表示。例如，在20℃下、標準大氣壓（101 KPa）下，氮氣分子的平均自由程約為60納米。

理想氣體分子運動示意圖

理想氣體分子兩次碰撞之間做勻速直線運動，類似分子的平均碰撞頻率，每兩次碰撞之間的路程是由氣體分子的自身狀態決定的。氣體分子的平均自由程與分子的直徑或半徑、分子數密度成反比。

歷史

魯道夫·克勞修斯早在1857年就引入了平均自由程的概念。後來詹姆斯·麥克斯韋在1859年推導出麥克斯韋速度分布律後，推導出了氣體分子平均自由程的更為準確的計算公式。

推導

分子碰撞截面

分子之間發生碰撞，但大多數情況並非發生對心碰撞。兩個碰撞的分子根據兩者發生碰撞瞬間「對心」的情況，所產生的方向偏離不同。當入射分子的方向和目標分子的質心的垂直距離大於某一確定值時，就不再發生速度偏離。這時的「某一確定值」稱為分子有效直徑$d\,$。定義分子碰撞截面$\sigma \,$，即在這個圓形截面之外的範圍射入的分子都不會發生速度方向偏離。關於這個截面，有以下方程：

$\sigma =\pi d^{2}\,$

氣體分子間的平均碰撞率

單位時間內氣體分子發生的碰撞次數稱為平均碰撞頻率，一般用${\overline {Z}}\,$表示，實驗結果表示，有以下方程：

${\overline {Z}}=n\sigma v_{rel}\,$

其中，$n$是氣體分子的分子數密度，$v_{rel}\,$是碰撞的相對速率。

由於入射分子和目標分子都在移動，不能夠只考慮入射分子的移動速率，必需考慮入射分子對於目標分子的相對速率。如果是同種氣體分子，則平均相對速率為

$v_{rel}={\sqrt {2}}{\overline {v}}\,$；

其中，${\overline {v}}\,$是氣體分子平均速率。

氣體分子的平均自由程的推導

設分子平均速率為${\overline {v}}\,$，則它在$t\,$時間內走過的平均路程為${\overline {v}}t\,$；另外，在這段時間內分子發生的平均碰撞次數為${\overline {Z}}t\,$，故由：

${\overline {\lambda }}={\frac {{\overline {v}}t}{{\overline {Z}}t}}\,$

當為同種氣體分子時，得到

${\overline {\lambda }}={\frac {1}{{\sqrt {2}}n\sigma }}\,$

應用理想氣體定律，可以得到

${\overline {\lambda }}={\frac {k_{B}T}{{\sqrt {2}}\sigma p}}\,$

其中，$k_{B}\,$是玻爾茲曼常量，$T\,$是溫度，$p\,$是壓強。

自由程的分布

平均自由程分布示意圖

自由程從$x\,$到無窮大的分子占分子總數的比例為：

${\frac {N}{N_{0}}}=exp(-{\frac {x}{\overline {\lambda }}})\,$

自由程在$x\,$與$x+dx\,$範圍內的分子占分子總數的比例為：

$-{\frac {dN}{N_{0}}}={\frac {1}{\overline {\lambda }}}exp(-{\frac {x}{\overline {\lambda }}})dx\,$

以上兩式中，$N_{0}\,$是碰撞分子總數，${\overline {\lambda }}\,$是平均自由程。

相關條目

• 熱學
• 麥克斯韋速度分布律
• 分子運動論

延伸閱讀

• David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker. Fundamentals of Physics. John Wiley & Sons. : pp. 515–516. ISBN 978-0471105589 （英語）.  引文格式1維護：冗餘文本 (link)
• 趙凱華，羅蔚茵. 《新概念物理教程·热学》. 高等教育出版社. 2005. ISBN 978-7040176803 （中文（中國大陸））.