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截角小星形十二面体

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截角小星形十二面体
截角小星形十二面体
类别退化均匀星形多面体
对偶多面体五角化大十二面体
数学表示法
考克斯特符号
（英语：Coxeter-Dynkin diagram）		node 5 node_1 5 rat d2 node_1 
施莱夫利符号t1,2{5,5/2}
威佐夫符号
（英语：Wythoff symbol）		2 5 | 5/2
性质
面24
边90
顶点60
欧拉特征数F=24, E=90, V=60 （χ=-6）
组成与布局
面的种类12个五边形{5}
12个退化十边形
面的布局
（英语：Face configuration）		12{5}+12{10/2}
顶点图10/2.10/2.5
对称性
对称群Ih, [5,3], *532

在几何学中，截角小星形十二面体是指截去所有顶点的小星形十二面体[1]。然而，若对小星形十二面体套用一般用于产生半正多面体（如阿基米德立体）所用的截角变换[2][注 1]，则会导致产生的结果外观与正十二面体无异[6]，但实际上可以视为一种退化的均匀多面体。部分的RNA病毒是这种结构。[7]

均匀截角小星形十二面体

将外层五边形面（黄色）中间打洞的均匀截角小星形十二面体，可以看到内侧的五边形面（红色）与外侧的五边形面重合。

均匀截角即为一般用于产生半正多面体（如阿基米德立体）所用的截角变换[2][注 1]，其结果在考克斯特记号中可以用node 5 node_1 5 rat d2 node_1 表示[8] ，而套用了这种截角变换后会使得小星形十二面体转变成外观与一般正十二面体相同的立体[6]，然而这种立体并非十二面体，而是一种退化的二十四面体，其由24个面、90条边和60个顶点组成，其中24个面为12个正五边形和12个绕两圈的正五边形组成，整体可以视为是每个顶点都是2个十边形和1个五边形之公共顶点的抽象等角二十四面体的具像化[9]。


小星形十二面体
较浅的截角小星形十二面体
均匀截角小星形十二面体

过截角小星形十二面体

参见：截角大十二面体

过截角是指截角截得比截半更深的截角变换，其可以视为对于对偶多面体进行均匀截角[10]。过截角小星形十二面体的结果为截角大十二面体，顶点、边和面数皆与截角小星形十二面体相同，皆为24个面、90条边和60个顶点组成[11]，但组成面不同。过截角小星形十二面体的组成面为12个五角星面和12个十边形面，且顶点都是2个十边形和1个五角星的公共顶点，这种顶点可以对应到均匀截角小星形十二面体中，作为抽象等角二十四面体中的2个十边形和1个五边形之公共顶点。[9]

名称 小星形十二面体 截角小星形十二面体 截半大十二面体 截角大十二面体 大十二面体
考克斯特
迪肯符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram） 		node 5 node 5 rat d2 node_1  node 5 node_1 5 rat d2 node_1  node 5 node_1 5 rat d2 node  node_1 5 node_1 5 rat d2 node  node_1 5 node 5 rat d2 node 
图像

其他截角小星形十二面体

另外有一种抽象多面体（x5/2β5o）其可以视为截角小星形十二面体的刻面多面体的一种形式[12]，这种多面体的每个顶点都是1个五角星、2个四边形、和2个星形十边形的公共顶点，顶点图可以记为[5/2,4,10/4,10/4,4] [12]；其刻面的原像与三个正十二面体的复合立体非常相似，其每个顶点都是3组的1个五边形和2个星形十边形的公共顶点，顶点图可以记为 3[5,10/2,10/2]。[13]另一种相关的多面体则是一种特殊截角的小星形十二面体，其可以视为星形截半二十面体的一种，即截半二十面体的星形化体。[14]

相关多面体

截角小星形十二面体是均匀多面体的一种退化形式，在考克斯特的书中，这种形式被以威佐夫记号2 p | p/2，并且说明p可以为3、5和5/2[15]

五角化大十二面体

均匀截角小星形十二面体对应的对偶多面体是一个外观与正二十面体无异的立体。[6]然而截角多面体的对偶多面体，根据康威多面体表示法可以替换为原像的克利多面体[16]，因此对应的立体为五角化的大十二面体，根据对偶多面体的顶点数与面数关系，[16]，可得知均匀截角小星形十二面体对应的对偶多面体具有60个面、90条边和24个顶点，其中60个面与正二十面体排不相同，且每3个面为一组互相重合。

参见

注释

  1. ^ 1.0 1.1 产生半正多面体所用的截角，即确保截角完后的面皆要等边的截角。[4][5]

参考文献

  1. ^ mathconsult. Background Information of Uniform polyhedra. [2019-09-22]. （原始内容存档于2020-02-24）. 
  2. ^ 2.0 2.1 Olshevsky, George, Truncation at Glossary for Hyperspace.
  3. ^ Coxeter, H.S.M.; Regular Polytopes (third edition). Dover Publications Inc. ISBN 0-486-61480-8
  4. ^ Coxeter, H.S.M. Chapter 8: Truncation, Regular Polytopes,[3] pp. 145–154
  5. ^ Norman Johnson, Uniform Polytopes, Manuscript (1991)
  6. ^ 6.0 6.1 6.2 Maeder, Roman E. Uniform polyhedra. The Mathematica Journal (Citeseer). 1993, 3 (4): 48––57 [2019-09-22]. （原始内容存档于2021-08-23）. 
  7. ^ Andersson, Sten, On the inside structures of virus capsids. (PDF), Sandforsk,Sandvik,SödraLånggatan 27,S-38074Löttorp,Sweden: 4, 25 nov 2009 [2019-09-22], （原始内容存档 (PDF)于2019-09-22） 
  8. ^ Coxeter, The Evolution of Coxeter-Dynkin diagrams, [Nieuw Archief voor Wiskunde 9 (1991) 233-248]
  9. ^ 9.0 9.1 Grünbaum, Branko. Graphs of polyhedra; polyhedra as graphs. Discrete Mathematics (Elsevier). 2007, 307 (3-5): 445––463. doi:10.1016/j.disc.2005.09.037. 
  10. ^ Diudea, M.V. Multi-shell Polyhedral Clusters. Carbon Materials: Chemistry and Physics. Springer International Publishing. 2017: 27. ISBN 9783319641232. 
  11. ^ truncated great dodecahedron. bulatov.org. （原始内容存档于2016-03-26）. 
  12. ^ 12.0 12.1 Klitzing, Richard. x5/2β5o, Polytopes & their Incidence Matrices. bendwavy.org. [2019-09-22]. （原始内容存档于2021-01-23）. 
  13. ^ Klitzing, Richard. 3doe, Polytopes & their Incidence Matrices. bendwavy.org. [2019-09-22]. （原始内容存档于2021-01-23）. 
  14. ^ Wenninger, M.J. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974: 77. ISBN 9780521098595. LCCN 69010200. 
  15. ^ Coxeter, Harold Scott MacDonald; Longuet-Higgins, M. S.; Miller, J. C. P., Uniform polyhedra, Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences, 1954, 246: 401–450, ISSN 0080-4614, JSTOR 91532, MR 0062446, doi:10.1098/rsta.1954.0003  (Table 6, degenerate cases)
  16. ^ 16.0 16.1 George W. Hart. Conway Notation for Polyhedra. Virtual Polyhedra. 1998 [2019-09-22]. （原始内容存档于2014-11-29）. 
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