在物理学中,拉比周期是在振荡外场中的二能级量子体系的周期性行为。一个二能级系统具有两个可能的状态,如果状态不是简并的,当吸收一份能量以后,体系可以被激发。
这种效应在量子光学、核磁共振和量子计算中非常重要,它是以伊西多·伊萨克·拉比(Isidor Isaac Rabi)的名字命名的。
当一个原子(或者其它二能级体系)被一束相干光照射的时候,它将周期性地吸收光子并透过受激发射重新将光子发射出来,这样一个周期称为拉比周期,它的倒数称为拉比频率。
这种机制是量子光学的基础,其模型的建立可以依据杰恩斯-卡明斯模型和布洛赫矢量形式。
例如,对于频率受外部电磁场调制到激发态的二能级原子(该原子的电子可以处于激发态或者基态),利用布洛赫方程可以得到,原子处于激发态的机率为
,其中
为拉比频率。
更一般地,可以考虑一个没有本征态的二能级体系,如果这个体系初态位于其中一个能级,时间演化将导致每个能级的态密度按照某个特征频率振荡,其角频率也称为拉比频率。
数学处理
拉比效应的数学细节请参见拉比问题。 例如,若将电磁场频率调至激发能,并于电磁场当中置入一个双态原子(该原子之电子可以处于激发态或基态),那么处于激发态原子之概率可以从Bloch方程得出:
是拉比频率。
更一般而言,我们可以考虑一种,两个能级都不是能量本征态的系统 。因此,如果在其中一个能级对系统初始化,则时间演化将使每个能级的总粒子数以某个特征频率振荡,其角频率[1]也称为拉比频率。 该双态量子系统的状态可以表示为二维希尔伯特空间复向量 ,这意味着每个状态向量
是以标准的复数坐标表示。
![{\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}=c_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7841a25038e5612ca5bcc90b4048b658d87a2c51)
和
是坐标。[2]
如果向量归一化,
和
的关联为
。 基向量表示为
和
所有与该系统相关的可观测物理量均为2
2埃尔米特矩阵 ,这表示系统的哈密顿量也是相似矩阵。
如何在量子系统中准备振荡实验
可以透过以下步骤建构振荡实验:[3]
- 准备系统,使之处于固定状态;例如
![{\displaystyle |1\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f53021ca18e77477ee5bd3c1523e5830189ec5c)
- 在哈密顿量H下,让态随时间t自由演化
- 求出状态为
的概率 P(t)
如果
是H的本征态且P(t)=1 ,那么就不会产生振荡。此外,如果两个态
和
皆为简并态,那么包括
在内的所有态皆为H的本征态。因此也不会产生振荡。
另一方面,若H无简并本征态,且初态不是本征态,则振荡将会产生。 双态系统哈密顿量的最一般形式给定如下
![{\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{pmatrix}a_{0}+a_{3}&a_{1}-ia_{2}\\a_{1}+ia_{2}&a_{0}-a_{3}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aa980a8c3faf22dd416fdbd3158e83978f6d226)
和
是实数。 这个矩阵可以分解为
![{\displaystyle \mathbf {H} =a_{0}\cdot \sigma _{0}+a_{1}\cdot \sigma _{1}+a_{2}\cdot \sigma _{2}+a_{3}\cdot \sigma _{3};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1b1dd39197f92fd195e21c8a6cf9a4386dc57d3)
是2
2单位矩阵,
是泡利矩阵 。 尤其是在与时间无关的情况下,这种分解能够简化系统分析,其中
和
是常数。考虑置于磁场
之中的自旋1/2粒子。该系统的相互作用能量算符为
, ![{\displaystyle S_{z}={\frac {\hbar }{2}}\,\sigma _{3}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad53e7a7e761f6fc499beb7c2674795bcd19c4b5)
是粒子磁矩的大小,
是旋磁比 ,
是泡利矩阵之向量。此处哈密顿量之本征态是
,而
和
具有对应的本征值
。 我们可以在系统处于状态
下,给出找到任意状态
之概率
。在
的时刻,让系统处于准备状态
。 注意到
是
的本征态 :
![{\displaystyle |\psi (0)\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42e3271f152e23082c2c6596969c3b2ec3047998)
此处的哈密顿量与时间无关。 因此,透过求解平稳的薛定谔方程,在经过时间t之后,状态演变为
,带有系统总能量
。
因此经过时间t之后,状态成为:
![{\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{\frac {-iE_{+}t}{\hbar }}{\frac {1}{\sqrt {2}}}|0\rangle +e^{\frac {-iE_{-}t}{\hbar }}{\frac {1}{\sqrt {2}}}|1\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c1642ca5a0a91c9f7f5af6efbe70ff67882f543)
现在假设在t时刻,对x方向上的自旋进行测量。 下式给出测量到自旋向上的概率:
![{\displaystyle {\left|\langle +X|\psi (t)\rangle \right|}^{2}={\left|{\frac {\left\langle 0\right|+\left\langle 1\right|}{\sqrt {2}}}\left({{\frac {1}{\sqrt {2}}}\exp \left[{\frac {-iE_{+}t}{\hbar }}\right]\left|0\right\rangle +{\frac {1}{\sqrt {2}}}\exp \left[{\frac {-iE_{-}t}{\hbar }}\right]\left|1\right\rangle }\right)\right|}^{2}=\cos ^{2}\left({\frac {\omega t}{2}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d2093038f688493b9150d7a4d1dd0150b63da00)
是特征角频率,假设
的情形,给定
。 [4] 在这种情况下,当系统最初自旋是在
方向,那么x方向发现自旋向上的概率会随著时间
而振荡。 同样,如果我们测量
方向,那么所测量到的系统自旋为
之概率为
。在
简并情形下 ,特征频率为0,无振荡发生。
留意到,如果系统处于给定哈密顿量的本征态,则系统将维持在该状态,保持不变。
这同样也适用于时间相依的哈密顿函数。 以
为例;如果系统的初始自旋状态为
,那么在
时刻,自旋在y方向测量结果为
之概率为
。[5]
电离氢分子两态间的拉比振荡。
|
电离氢分子是由两个质子 、 和一个电子所组成。由于质子质量较大,因此这两个质子可以被视为固定不动的。设R为质子之间的距离,而 和 两个态的电子所处之位置,约坐落在 或 附近。假设在某一时刻,电子位于质子 附近。根据前一节的结果,我们知道它将在两个质子之间振荡,而振荡频率等于与两个分子定态 和 有关的玻尔频率。这种在两个态之间的电子振荡,对应于分子电偶极矩平均值的振荡。因此,当分子不处于定态时,就能够产生一个振荡的电偶极矩。这种振荡偶极矩可以与同频率的电磁波交换能量。因此,这个频率必须出现在电离氢分子的吸收光谱和发射光谱中。
|
以泡利矩阵推导非摄动过程之拉比公式
考虑以下形式的哈密顿量
![{\displaystyle {\hat {H}}=E_{0}\cdot \sigma _{0}+W_{1}\cdot \sigma _{1}+W_{2}\cdot \sigma _{2}+\Delta \cdot \sigma _{3}={\begin{pmatrix}E_{0}+\Delta &W_{1}-iW_{2}\\W_{1}+iW_{2}&E_{0}-\Delta \end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af242ffb6109bbd9e83480c0367692a1b7ebb926)
该矩阵的特征值为
,
。
此处
,
。因此我们可以取
。
现在,由方程 :
,我们可以得到
的特征向量。
因此,
。
对特征向量采用归一化条件
。
因此
。
令
,
。所以
。
我们得到
,即
。取任意相角
,我们可以写下
. 同理可证,
。
所以特征值
之特征向量为
。
由于总相角较无关紧要,我们可以写下
。
类似地, 特征能量
之特征向量为
。
从这两个方程,我们可以写出
。
假设系统开始时在时刻
的状态是
,也就是说,
。经过时间t之后,状态演变为
。
如果系统处于
或
之中的某一个本征态,那么它将会维持在同一个本征态。然而,对于如上所示的一般初始状态而言,时间演化并不显然。
系统在时刻t处于状态
的概率幅为
。
系统当前处于
,而之后处于任意态
的概率为
![{\displaystyle {\begin{aligned}P_{0\to 1}(t)&={|\langle \ 1|\psi (t)\rangle |}^{2}\\&=e^{-\imath \phi }\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\left(e^{\frac {+\imath E_{+}t}{\hbar }}-e^{\frac {+\imath E_{-}t}{\hbar }}\right)e^{+\imath \phi }\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\left(e^{\frac {-\imath E_{+}t}{\hbar }}-e^{\frac {-\imath E_{-}t}{\hbar }}\right)\\&={\frac {\sin ^{2}{\theta }}{4}}\left(2-2\cos \left({\frac {\left(E_{+}-E_{-}\right)t}{\hbar }}\right)\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21f0be5630001c29e2da7e3278f4245c18a6cfe5)
这可以简化为
.........(1)
这表明, 当系统最初处于状态
时,该系统最终处于状态
的概率是有限的。概率是以角频率
振荡,而
是系统唯一的玻尔频率,又称为拉比频率。而式子(1)亦可称为拉比公式。在时间t之后,系统处于状态
的概率为
,同样也是振荡形式。
这些二能级系统的振荡称为拉比振荡,在许多问题之中都会发生这种振荡,如中微子振荡、电离氢分子、量子计算、氨激微波等等。
量子计算中的拉比振荡
任何双态量子系统都可以用来模拟量子比特。现在考虑一个自旋
系统,将磁矩
置于经典磁场
之中。令系统旋磁比
,因此磁矩
,可以给出该系统的哈密顿量
,此处
,
。
透过上述步骤,我们可以求得哈密顿量的特征值和特征向量。现在,让量子比特在
时刻处于量子态
,那么,在
时刻,量子比特处于量子态
的概率为![{\displaystyle P_{0\to 1}(t)=\left({\frac {\omega _{1}}{\Omega }}\right)^{2}\sin ^{2}\left({\frac {\Omega t}{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a847f64cb2e5f00ee98718439ff37f580ad54af)
,这种现象就称作拉比振荡。因此,量子比特会在量子态
和
之间振荡。振荡的振幅会在
达到最大,而这即为共振条件。共振时的跃迁概率为
,要从一个量子态
跃迁到另一个量子态
,只需调整旋转场作用的时间
满足
或是
就充分了,这叫做“
脉冲”。如果选择的时间介于0和
之间,我们会得到
和
的叠加态。尤其是当
的时候,我们会得到一个“
脉冲”,它的作用是造成
量子态跃迁,而这个操作在量子计算中起到至关重要的作用。当对激光场中的二能级原子进行大致满意的旋转波近似时,方程基本上是相同的。然后两个原子能级之间的能量差
(
是激光波的频率)及拉比频率
,与原子的跃迁电偶极矩
与激光波电场
的乘积成正比,也就是
。总而言之,拉比振荡是用于操纵量子比特的基本过程,而这个振荡是在适当调整的时间间隔内,借由将量子比特暴露在周期性的电场或磁场中来获得[6]。
相关条目
外部链接
A Java applet that visualizes Rabi Cycles of two-state systems (laser driven).
extended version of the applet. Includes electron phonon interaction.
- ^ Encyclopedia of Laser Physics and Technology - Rabi oscillations, Rabi frequency, stimulated emission. [2020-04-28]. (原始内容存档于2020-05-08).
- ^ Griffiths, David. Introduction to Quantum Mechanics 2nd. 2005: 341.
- ^ Sourendu Gupta. The physics of 2-state systems (PDF). Tata Institute of Fundamental Research. 27 August 2013 [2020-04-28]. (原始内容存档 (PDF)于2019-07-16).
- ^ Griffiths, David (2012). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) p. 191.
- ^ Griffiths, David (2012). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) p. 196 ISBN 978-8177582307
- ^ A Short Introduction to Quantum Information and Quantum Computation by Michel Le Bellac, ISBN 978-0521860567