在物理學中,拉比週期是在振盪外場中的二能階量子體系的週期性行為。一個二能階系統具有兩個可能的狀態,如果狀態不是簡併的,當吸收一份能量以後,體系可以被激發。
這種效應在量子光學、核磁共振和量子計算中非常重要,它是以伊西多·伊薩克·拉比(Isidor Isaac Rabi)的名字命名的。
當一個原子(或者其它二能階體系)被一束相干光照射的時候,它將週期性地吸收光子並透過受激發射重新將光子發射出來,這樣一個週期稱為拉比週期,它的倒數稱為拉比頻率。
這種機制是量子光學的基礎,其模型的建立可以依據傑恩斯-卡明斯模型和布洛赫向量形式。
例如,對於頻率受外部電磁場調製到激發態的二能階原子(該原子的電子可以處於激發態或者基態),利用布洛赫方程式可以得到,原子處於激發態的機率為
,其中
為拉比頻率。
更一般地,可以考慮一個沒有本徵態的二能階體系,如果這個體系初態位於其中一個能階,時間演化將導致每個能階的態密度按照某個特徵頻率振盪,其角頻率也稱為拉比頻率。
數學處理
拉比效應的數學細節請參見拉比問題。 例如,若將電磁場頻率調至激發能,並於電磁場當中置入一個雙態原子(該原子之電子可以處於激發態或基態),那麼處於激發態原子之機率可以從Bloch方程式得出:
是拉比頻率。
更一般而言,我們可以考慮一種,兩個能階都不是能量本徵態的系統 。因此,如果在其中一個能階對系統初始化,則時間演化將使每個能階的總粒子數以某個特徵頻率振盪,其角頻率[1]也稱為拉比頻率。 該雙態量子系統的狀態可以表示為二維希爾伯特空間複向量 ,這意味着每個狀態向量
是以標準的複數坐標表示。
![{\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}=c_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7841a25038e5612ca5bcc90b4048b658d87a2c51)
和
是坐標。[2]
如果向量歸一化,
和
的關聯為
。 基向量表示為
和
所有與該系統相關的可觀測物理量均為2
2埃爾米特矩陣 ,這表示系統的哈密頓量也是相似矩陣。
如何在量子系統中準備振盪實驗
可以透過以下步驟建構振盪實驗:[3]
- 準備系統,使之處於固定狀態;例如
![{\displaystyle |1\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f53021ca18e77477ee5bd3c1523e5830189ec5c)
- 在哈密頓量H下,讓態隨時間t自由演化
- 求出狀態為
的機率 P(t)
如果
是H的本徵態且P(t)=1 ,那麼就不會產生振盪。此外,如果兩個態
和
皆為簡併態,那麼包括
在內的所有態皆為H的本徵態。因此也不會產生振盪。
另一方面,若H無簡併本徵態,且初態不是本徵態,則振盪將會產生。 雙態系統哈密頓量的最一般形式給定如下
![{\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{pmatrix}a_{0}+a_{3}&a_{1}-ia_{2}\\a_{1}+ia_{2}&a_{0}-a_{3}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aa980a8c3faf22dd416fdbd3158e83978f6d226)
和
是實數。 這個矩陣可以分解為
![{\displaystyle \mathbf {H} =a_{0}\cdot \sigma _{0}+a_{1}\cdot \sigma _{1}+a_{2}\cdot \sigma _{2}+a_{3}\cdot \sigma _{3};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1b1dd39197f92fd195e21c8a6cf9a4386dc57d3)
是2
2單位矩陣,
是鮑利矩陣 。 尤其是在與時間無關的情況下,這種分解能夠簡化系統分析,其中
和
是常數。考慮置於磁場
之中的自旋1/2粒子。該系統的相互作用能量算符為
, ![{\displaystyle S_{z}={\frac {\hbar }{2}}\,\sigma _{3}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad53e7a7e761f6fc499beb7c2674795bcd19c4b5)
是粒子磁矩的大小,
是旋磁比 ,
是鮑利矩陣之向量。此處哈密頓量之本徵態是
,而
和
具有對應的本徵值
。 我們可以在系統處於狀態
下,給出找到任意狀態
之機率
。在
的時刻,讓系統處於準備狀態
。 注意到
是
的本徵態 :
![{\displaystyle |\psi (0)\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42e3271f152e23082c2c6596969c3b2ec3047998)
此處的哈密頓量與時間無關。 因此,透過求解平穩的薛定諤方程式,在經過時間t之後,狀態演變為
,帶有系統總能量
。
因此經過時間t之後,狀態成為:
![{\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{\frac {-iE_{+}t}{\hbar }}{\frac {1}{\sqrt {2}}}|0\rangle +e^{\frac {-iE_{-}t}{\hbar }}{\frac {1}{\sqrt {2}}}|1\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c1642ca5a0a91c9f7f5af6efbe70ff67882f543)
現在假設在t時刻,對x方向上的自旋進行測量。 下式給出測量到自旋向上的機率:
![{\displaystyle {\left|\langle +X|\psi (t)\rangle \right|}^{2}={\left|{\frac {\left\langle 0\right|+\left\langle 1\right|}{\sqrt {2}}}\left({{\frac {1}{\sqrt {2}}}\exp \left[{\frac {-iE_{+}t}{\hbar }}\right]\left|0\right\rangle +{\frac {1}{\sqrt {2}}}\exp \left[{\frac {-iE_{-}t}{\hbar }}\right]\left|1\right\rangle }\right)\right|}^{2}=\cos ^{2}\left({\frac {\omega t}{2}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d2093038f688493b9150d7a4d1dd0150b63da00)
是特徵角頻率,假設
的情形,給定
。 [4] 在這種情況下,當系統最初自旋是在
方向,那麼x方向發現自旋向上的機率會隨著時間
而振盪。 同樣,如果我們測量
方向,那麼所測量到的系統自旋為
之機率為
。在
簡併情形下 ,特徵頻率為0,無振盪發生。
留意到,如果系統處於給定哈密頓量的本徵態,則系統將維持在該狀態,保持不變。
這同樣也適用於時間相依的哈密頓函數。 以
為例;如果系統的初始自旋狀態為
,那麼在
時刻,自旋在y方向測量結果為
之機率為
。[5]
電離氫分子兩態間的拉比振盪。
|
電離氫分子是由兩個質子 、 和一個電子所組成。由於質子質量較大,因此這兩個質子可以被視為固定不動的。設R為質子之間的距離,而 和 兩個態的電子所處之位置,約坐落在 或 附近。假設在某一時刻,電子位於質子 附近。根據前一節的結果,我們知道它將在兩個質子之間振盪,而振盪頻率等於與兩個分子定態 和 有關的玻爾頻率。這種在兩個態之間的電子振盪,對應於分子電偶極矩平均值的振盪。因此,當分子不處於定態時,就能夠產生一個振盪的電偶極矩。這種振盪偶極矩可以與同頻率的電磁波交換能量。因此,這個頻率必須出現在電離氫分子的吸收光譜和發射光譜中。
|
以鮑利矩陣推導非微擾過程之拉比公式
考慮以下形式的哈密頓量
![{\displaystyle {\hat {H}}=E_{0}\cdot \sigma _{0}+W_{1}\cdot \sigma _{1}+W_{2}\cdot \sigma _{2}+\Delta \cdot \sigma _{3}={\begin{pmatrix}E_{0}+\Delta &W_{1}-iW_{2}\\W_{1}+iW_{2}&E_{0}-\Delta \end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af242ffb6109bbd9e83480c0367692a1b7ebb926)
該矩陣的特徵值為
,
。
此處
,
。因此我們可以取
。
現在,由方程式 :
,我們可以得到
的特徵向量。
因此,
。
對特徵向量採用歸一化條件
。
因此
。
令
,
。所以
。
我們得到
,即
。取任意相角
,我們可以寫下
. 同理可證,
。
所以特徵值
之特徵向量為
。
由於總相角較無關緊要,我們可以寫下
。
類似地, 特徵能量
之特徵向量為
。
從這兩個方程式,我們可以寫出
。
假設系統開始時在時刻
的狀態是
,也就是說,
。經過時間t之後,狀態演變為
。
如果系統處於
或
之中的某一個本徵態,那麼它將會維持在同一個本徵態。然而,對於如上所示的一般初始狀態而言,時間演化並不顯然。
系統在時刻t處於狀態
的機率幅為
。
系統當前處於
,而之後處於任意態
的機率為
![{\displaystyle {\begin{aligned}P_{0\to 1}(t)&={|\langle \ 1|\psi (t)\rangle |}^{2}\\&=e^{-\imath \phi }\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\left(e^{\frac {+\imath E_{+}t}{\hbar }}-e^{\frac {+\imath E_{-}t}{\hbar }}\right)e^{+\imath \phi }\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\left(e^{\frac {-\imath E_{+}t}{\hbar }}-e^{\frac {-\imath E_{-}t}{\hbar }}\right)\\&={\frac {\sin ^{2}{\theta }}{4}}\left(2-2\cos \left({\frac {\left(E_{+}-E_{-}\right)t}{\hbar }}\right)\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21f0be5630001c29e2da7e3278f4245c18a6cfe5)
這可以簡化為
.........(1)
這表明, 當系統最初處於狀態
時,該系統最終處於狀態
的機率是有限的。機率是以角頻率
振盪,而
是系統唯一的玻爾頻率,又稱為拉比頻率。而式子(1)亦可稱為拉比公式。在時間t之後,系統處於狀態
的機率為
,同樣也是振盪形式。
這些二能階系統的振盪稱為拉比振盪,在許多問題之中都會發生這種振盪,如微中子振盪、電離氫分子、量子計算、氨邁射等等。
量子計算中的拉比振盪
任何雙態量子系統都可以用來模擬量子位元。現在考慮一個自旋
系統,將磁矩
置於經典磁場
之中。令系統旋磁比
,因此磁矩
,可以給出該系統的哈密頓量
,此處
,
。
透過上述步驟,我們可以求得哈密頓量的特徵值和特徵向量。現在,讓量子位元在
時刻處於量子態
,那麼,在
時刻,量子位元處於量子態
的機率為![{\displaystyle P_{0\to 1}(t)=\left({\frac {\omega _{1}}{\Omega }}\right)^{2}\sin ^{2}\left({\frac {\Omega t}{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a847f64cb2e5f00ee98718439ff37f580ad54af)
,這種現象就稱作拉比振盪。因此,量子位元會在量子態
和
之間振盪。振盪的振幅會在
達到最大,而這即為共振條件。共振時的躍遷機率為
,要從一個量子態
躍遷到另一個量子態
,只需調整旋轉場作用的時間
滿足
或是
就充分了,這叫做「
脈衝」。如果選擇的時間介於0和
之間,我們會得到
和
的疊加態。尤其是當
的時候,我們會得到一個「
脈衝」,它的作用是造成
量子態躍遷,而這個操作在量子計算中起到至關重要的作用。當對激光場中的二能階原子進行大致滿意的旋轉波近似時,方程式基本上是相同的。然後兩個原子能階之間的能量差
(
是激光波的頻率)及拉比頻率
,與原子的躍遷電偶極矩
與激光波電場
的乘積成正比,也就是
。總而言之,拉比振盪是用於操縱量子位元的基本過程,而這個振盪是在適當調整的時間間隔內,藉由將量子位元暴露在週期性的電場或磁場中來獲得[6]。
相關條目
外部連結
A Java applet that visualizes Rabi Cycles of two-state systems (laser driven).
extended version of the applet. Includes electron phonon interaction.
- ^ Encyclopedia of Laser Physics and Technology - Rabi oscillations, Rabi frequency, stimulated emission. [2020-04-28]. (原始內容存檔於2020-05-08).
- ^ Griffiths, David. Introduction to Quantum Mechanics 2nd. 2005: 341.
- ^ Sourendu Gupta. The physics of 2-state systems (PDF). Tata Institute of Fundamental Research. 27 August 2013 [2020-04-28]. (原始內容存檔 (PDF)於2019-07-16).
- ^ Griffiths, David (2012). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) p. 191.
- ^ Griffiths, David (2012). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) p. 196 ISBN 978-8177582307
- ^ A Short Introduction to Quantum Information and Quantum Computation by Michel Le Bellac, ISBN 978-0521860567