柯西定理 (群论)

柯西定理是一个在群论里的定理，以奥古斯丁·路易·柯西的名字来命名。其叙述著若G是一个有限群且p是一个可整除G之阶（G的元素数目）的质数，则G会有一个p阶的元素。亦即，存在一个于G内的x，使得p为让x^p=e的最小非零整数，其中e为单位元素。

此一定理为拉格朗日定理的部分相反，其叙述著有限群G的每一个子群之阶都会整除G的阶。柯西定理表示对于每一个G之阶的质因数p，总存在一个G内p阶之子群－由柯西定理内之元素产生的循环群。

证明

我们对n = |G|使用数学归纳法。考虑G是阿贝尔群，以及G不是阿贝尔群的两个情况。假设G是阿贝尔群。如果G是单群，那么它一定是素数阶循环群，因此显然含有p阶的元素。否则存在一个非平凡的正规子群$H\triangleleft G$。如果p能整除|H|，那么根据归纳假设，H含有一个p阶的元素，因此G也含有p阶的元素。否则，根据拉格朗日定理，p一定能整除指数[G:H]，因此根据归纳假设，商群G/H含有一个p阶的元素；也就是说，在G中存在一个x，使得(Hx)^p = Hx^p = H。那么在H中存在一个元素h₁，使得h₁x^p = 1——G的单位元。容易验证，对于H中的每一个元素a，都存在H中的一个元素b，使得b^p = a，因此在H中存在h₂，使得h₂ ^p = h₁。所以h₂x的阶为p，阿贝尔群的情况得证。

假设G不是阿贝尔群，那么它的中心Z是真子群。如果对于某个非中心元素a（也就是说，a不在Z内），p能整除中心化子C_G(a)的阶，那么C_G(a)就是一个真子群，因此根据归纳假设，它含有一个p阶的元素。否则，根据拉格朗日定理，p一定能整除指数[G:C_G(a)]，对于所有的非中心a。利用类方程，可知p能整除方程的左端（|G|），因此也能整除右端的所有被加数，除了可能不整除|Z|以外。然而，经过一番计算就可发现，p必须也能整除Z的阶，因此根据归纳假设，中心子群含有一个p阶的元素，因为它是真子群，所以它的阶严格小于G的阶。证毕。

参考

• James McKay. Another proof of Cauchy's group theorem, American Math. Monthly, 66 (1959), pg. 119.

外部链接

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• 柯西定理的證明. PlanetMath.