柯西定理 (群論)

柯西定理是一個在群論裡的定理，以奧古斯丁·路易·柯西的名字來命名。其敘述著若G是一個有限群且p是一個可整除G之階（G的元素數目）的質數，則G會有一個p階的元素。亦即，存在一個於G內的x，使得p為讓x^p=e的最小非零整數，其中e為單位元素。

此一定理為拉格朗日定理的部份相反，其敘述著有限群G的每一個子群之階都會整除G的階。柯西定理表示對於每一個G之階的質因數p，總存在一個G內p階之子群－由柯西定理內之元素產生的循環群。

證明

我們對n = |G|使用數學歸納法。考慮G是阿貝爾群，以及G不是阿貝爾群的兩個情況。假設G是阿貝爾群。如果G是單群，那麼它一定是素數階循環群，因此顯然含有p階的元素。否則存在一個非平凡的正規子群$H\triangleleft G$。如果p能整除|H|，那麼根據歸納假設，H含有一個p階的元素，因此G也含有p階的元素。否則，根據拉格朗日定理，p一定能整除指數[G:H]，因此根據歸納假設，商群G/H含有一個p階的元素；也就是說，在G中存在一個x，使得(Hx)^p = Hx^p = H。那麼在H中存在一個元素h₁，使得h₁x^p = 1——G的單位元。容易驗證，對於H中的每一個元素a，都存在H中的一個元素b，使得b^p = a，因此在H中存在h₂，使得h₂ ^p = h₁。所以h₂x的階為p，阿貝爾群的情況得證。

假設G不是阿貝爾群，那麼它的中心Z是真子群。如果對於某個非中心元素a（也就是說，a不在Z內），p能整除中心化子C_G(a)的階，那麼C_G(a)就是一個真子群，因此根據歸納假設，它含有一個p階的元素。否則，根據拉格朗日定理，p一定能整除指數[G:C_G(a)]，對於所有的非中心a。利用類方程，可知p能整除方程的左端（|G|），因此也能整除右端的所有被加數，除了可能不整除|Z|以外。然而，經過一番計算就可發現，p必須也能整除Z的階，因此根據歸納假設，中心子群含有一個p階的元素，因為它是真子群，所以它的階嚴格小於G的階。證畢。

參考

• James McKay. Another proof of Cauchy's group theorem, American Math. Monthly, 66 (1959), pg. 119.

外部連結

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• 柯西定理的證明. PlanetMath.