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模形式

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在数学上,模形式(Modular form)是一种解析函数,这种函数的只接受来自复数平面上半平面中的值,并且这种函数在一个在模型群英语Modular group群运算之下,会变成某种类型的函数方程,并且通过函数计算出的值也会呈现出某个增长趋势。模形式理论属于解析数论的范畴。模形式也出现在其他领域,例如代数拓扑弦理论

模形式理论是更广泛的自守形式理论的特例。自守形式理论的发展大致可分成三期:

  1. 19世纪初:探讨与椭圆函数相关的方面。
  2. 19世纪末:此时单变数自守形式的概念诞生。此理论由菲利克斯·克莱因等人发展。
  3. 1925至1960年:由赫克发端,发现了模形式与数论的联系。

作为格的函数

一个模形式可视为从所有(即:中的离散加法子群,使得其商群紧致)的集合映至的函数,使之满足下述条件:

  1. 若考虑形如之格,其中为常数而为变数,则全纯函数
  2. 存在常数(通常取正整数),使得对任何,有。常数k称为此模形式之
  3. 对于最小非零元与原点距离大于一定值之格有上界。

,条件二表明仅决定于在相似变换下的等价类。这是重要的特例,但是权为零的模形式必为常数函数。若去掉条件三,并容许函数有极点,则存在非常数的例子,称作模函数

这个状况可以与射影空间英语Projective space作类比:对于射影空间,我们欲寻找向量空间上对座标的多项式函数,并满足;不幸的是,这种函数必为常数。一种办法是容许有分母(即考虑有理函数),则满足条件的是分子、分母为同次数齐次多项式的有理函数。另一种办法则是修改条件,则满足此条件的函数为次齐次多项式,对每个固定的,这些函数构成有限维向量空间。借着考虑所有可能的,我们可以找出构造上的有理函数所需之分子与分母。

既然次齐次多项式在上并非真正的函数,该如何从几何上诠释?代数几何给出了一个答案:它们是上某个的截面。模形式的情形也类似,但考虑的不是,而是某个模空间

作为椭圆曲线模空间上的函数

每个格都决定一条复椭圆曲线;两个格给出的椭圆曲线同构的充要条件是两个格之间差一个非零复数的倍数。因此模函数可以看作是复椭圆曲线的模空间上的函数。例如椭圆曲线的j-不变量英语j-invariant就是模函数。模形式可视作模空间上某些线丛的截面。

每个格在乘上某个非零复数倍数后皆可表成。对一模形式,置。模形式的第二个条件可改写成函数方程:对所有(即模群英语Modular group之定义),有

例如,取

如果上述方程仅对内的某个有限指数子群成立,则称为对的模形式。最常见的例子是同余子群,以下将详述。

广义定义

为正整数,相应的模群英语congruence subgroup定义为

为正整数,权为级(或级群为)模形式定义为一个上半平面上的全纯函数,对任何

及任何属于上半平面的,有

而且在尖点全纯。所谓尖点,是作用下的轨道。例如当时,代表了唯一的尖点。模形式在尖点全纯,意谓有界。当此尖点为时,这等价于有傅立叶展开式

其中。对于其它尖点,同样可藉座标变换得到傅立叶展开。

若对每个尖点都有,则称之为尖点形式德文:Spitzenform)。使得的最小称作在该尖点的阶。以上定义的模形式有时也称为整模形式,以区分带极点的一般情形(如j-不变量)。

另一种的推广是考虑某类函数,并将函数方程改写为

上式所取的称为自守因子。若另取适当的,则在此框架下亦可探讨戴德金η函数,这是权等于1/2的模形式。例如:一个权等于级、nebentypus是模的一个狄利克雷特征)是定义于上半平面,并具下述性质的全纯函数:对任意

及属于上半平面的,有函数方程

此外,必须在尖点全纯。

例子

艾森斯坦级数

模形式最简单的例子是艾森斯坦级数:对每个偶数,定义

(条件用于确立收敛性)

θ函数

所谓中的偶单位模格,是指由一个行列式等于一的阶矩阵的行向量展成之格,并使得每个中的向量长度均为偶数。根据普瓦松求和公式,此时对应的Theta函数

是权的模形式。偶单位模格的构造并不容易,以下是方法之一:令为8的倍数,并考虑所有向量,使得的座标均为奇数或均为偶数,且的各座标总和为奇数。由此构成的格写作。当,此格由根系的根生成。虽然并不相似,由于权的模形式只有一个(至多差一个常数倍),遂得到

约翰·米尔诺发现:对这两个格的商空间给出两个16维环面,彼此不相等距同构,但它们的拉普拉斯算子有相同的特征值(计入重数)。

戴德金η函数

戴德金η函数定义为

模判别式是权的模形式。拉马努金有一个著名的猜想:在的傅立叶展开式中,对任一素数的系数的绝对值恒。此猜想最后由德利涅证明。

上述诸例点出了模形式与若干古典数论问题的联系,例如以二次型表示整数以及整数分拆问题。赫克算子英语Hecke operator理论阐释了模形式与数论的关键联系,同时也联系了模形式与表示理论

其他模函数概念的推广

模函数的概念还能做一些推广。

例如,可以去掉全纯条件:马斯形式英语Maass cusp form上半平面拉普拉斯算子的特征函数,但并非全纯函数。

此外,可以考虑以外的群。希尔伯特模形式个变元的函数,每个变元都属于上半平面。其函数方程则由分布于某个全实域的二阶方阵来定义。若以较大的辛群取代,便得到西格尔模形式。模形式与椭圆曲线相关,而西格尔模形式则涉及更广义的阿贝尔簇英语Abelian variety

自守形式的概念可用于一般的李群

参考文献

  • Jean-Pierre Serre, A Course in Arithmetic. Graduate Texts in Mathematics 7, Springer-Verlag, New York, 1973.在其第七章提供了模形式理论的浅介
  • Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (1990), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-97127-0
  • Goro Shimura: Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions. Princeton University Press, Princeton, N.J., 1971.提供较进阶的阐述
  • Stephen Gelbart: Automorphic forms on adele groups. Annals of Mathematics Studies 83, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1975.就表示理论观点审视模形式
  • Robert A. Rankin, Modular forms and functions, (1977) Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-21212-X
  • Stein's notes on Ribet's course Modular Forms and Hecke Operators页面存档备份,存于互联网档案馆