在量子场论中,一组创生及湮灭算符的乘积称为是按正规序排列的,如果所有的创生算符排列在所有的湮灭算符的左侧,相应的乘积称为正规乘积[1]。类似地可以定义反正规序,在反正规序中,所有产生算符排列在湮灭算符的右侧。
记号
令
为任意创生和湮灭算符之乘积,则我们将
按照正规序重新排列之后得到的算符用
或
表示。注意正规序只对算符乘积有意义,因为正规序不是线性关系,将正规序用在算符和并无太大作用。
玻色子
玻色子符合玻色–爱因斯坦统计。
单个玻色子
单个玻色子有一个产生算符和一个湮灭算符:
:玻色子的产生算符
:玻色子的湮灭算符
则有:
![{\displaystyle \left[{\hat {b}}^{\dagger },{\hat {b}}^{\dagger }\right]_{-}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61181ceded319373055a84dc6a94dc4380a1f656)
![{\displaystyle \left[{\hat {b}},{\hat {b}}\right]_{-}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63816bf8766923817dc47201e85bbe12285859f6)
![{\displaystyle \left[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }\right]_{-}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abe1bdcae41e256df878e30bf41844ccae4cca7d)
其中
表示两个算符的对易子。
例子
1. 最简单的例子是
的正规序,根据正规序的定义,可见这里的算符已经按照正规序排列,所以
的正规序就是它自身:
![{\displaystyle {:\,}{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f368cc01d01857d77ab78be465d1c32a851e6dcd)
2. 第二个例子是
的正规序,
![{\displaystyle {:\,}{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d10983b62ea4b53a45f55ed7b5892e59bedd1956)
这里,按照正规序的要求,产生算符
放到了湮灭算符
的左边。由玻色子算符的对易关系有:
![{\displaystyle {\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }-{:\,}{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/494c828f5c77c7ab52afc7731bccdd675fb49920)
在维克定理中,两个产生或湮灭算符的乘积与它们的正规序之间的差,称为这两个算符的收缩。
3. 一个多算符的例子:
![{\displaystyle {:\,}{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}=({\hat {b}}^{\dagger })^{3}\,{\hat {b}}^{4}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9c5ab4e0dde195bb6d817deee2660ef41f6dda8)
多个玻色子
对于
个不同的玻色子来说,有
个算符:
:第
个玻色子的产生算符
:第
个玻色子的湮灭算符
其中
.
它们满足下列对易关系:
![{\displaystyle \left[{\hat {b}}_{i}^{\dagger },{\hat {b}}_{j}^{\dagger }\right]_{-}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48d6e2a47dd564adc74c5da6c592f1c4f6f1a101)
![{\displaystyle \left[{\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}\right]_{-}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cad36d9d2b78500fd609df4a74f20c26b35214e)
![{\displaystyle \left[{\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}^{\dagger }\right]_{-}=\delta _{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47d7016b65f60e627505089726148f1c8bf5e597)
其中
,
是克罗内克函数。
例子
1.对于两个玻色子 (
) ,有:
![{\displaystyle :{\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a1ade54440e12f3951f34ddef48e526ad02f349)
![{\displaystyle :{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{1}^{\dagger }:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ba0c22c00d094ac10bd1632f0e76e7b9e2fae34)
2. 对三个玻色子 (
) ,有:
![{\displaystyle :{\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4839241bbb245461c400449fc92a344d780dddaf)
由于
(参见对易关系),湮灭算符之间的顺序并不重要。
费米子
费米子服从费米-狄拉克统计。
单个费米子
单个费米子有一个产生算符和一个湮灭算符:
:费米子的产生算符
:费米子的湮灭算符
它们满足下面的反对易关系:
![{\displaystyle \left[{\hat {f}}^{\dagger },{\hat {f}}^{\dagger }\right]_{+}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d3ac153ef4ac8ff6806b35d5aff966d0f3ed9ad)
![{\displaystyle \left[{\hat {f}},{\hat {f}}\right]_{+}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cc4e2943986870261f822b8db6088b0fb8f794d)
![{\displaystyle \left[{\hat {f}},{\hat {f}}^{\dagger }\right]_{+}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4c217f8baf594cc8f6339716924f8efad7ed5db)
其中
是反对易子。
与玻色子不同的是,对于费米子的正规序,每当重新排序引起两个算符的前后顺序发生变化时,需要额外引入一个负号。
例子
1. 最简单的例子是:
![{\displaystyle :{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}:\,={\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edae4b606a8c2a68973d24305951721c4692df7a)
由于算符已经按正规序排列,所以其正规序就是它本身。反过来,若是产生算符排列在后面,则如前文所说,其正规序需要引入一个负号,即:
![{\displaystyle :{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }:\,=-{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62d87206abb9e9c1aa3f973575f2b2d4e9a3589a)
由费米子算符的反对易关系有:
![{\displaystyle {\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }-:{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }:=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a22216d32ef558b10c47bc7ca32bceb5c434033)
与玻色子的情形一样,上式用于定义维克定理里面的收缩。
2. 其它情形下的正规序都是零,因为此时同一个湮灭算符或产生算符至少连续出现了两次。根据费米子的性质,此时结果为零,例如:
![{\displaystyle :{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}{\hat {f}}^{\dagger }:\,={\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}\,{\hat {f}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6e49b1f7faa582b847e25b764bb61809b8dd19e)
多个费米子
个费米子有
个产生湮灭算符,设:
为第
个费米子的产生算符
为第
个费米子的湮灭算符
其中
.
它们满足下列反对易关系:
![{\displaystyle \left[{\hat {f}}_{i}^{\dagger },{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\right]_{+}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e028a2ae7b22555b9cbcd653a6550a7c03708238)
![{\displaystyle \left[{\hat {f}}_{i},{\hat {f}}_{j}\right]_{+}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb699f8f0c45aff921bb302cf002da2487f840e9)
![{\displaystyle \left[{\hat {f}}_{i},{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\right]_{+}=\delta _{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47e336718a18e3acdf8a79afb3538e6e9ab20fd6)
其中
,
是克罗内克函数。
例子
1. 对两个费米子 (
) ,有:
![{\displaystyle :{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11c0fa0bb717cd686e37a436fc5286550787a75c)
由于算符已经按正规序排列,所以其正规序就是它本身。
![{\displaystyle :{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }:\,=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26a5548e0f582a292573042e38ec6eefa2cc4505)
由于两个算符的顺序发生了交换,所以要引入一个负号。
![{\displaystyle :{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}=-{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/659cc51b309b0714c8c47725468ec6d543063add)
与玻色子的情形不同,此时产生算符之间的顺序是有关系的。
2. 对三个费米子 (
) ,有:
![{\displaystyle :{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27b4e6161df48bbced28396a4fdd2cab9172b7f4)
类似地有:
![{\displaystyle :{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}:\,=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69a2a5ba706b7a480345a6053f0cfa7531158f12)
![{\displaystyle :{\hat {f}}_{3}{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31dc31c0884c8042cbab99c55fbaf786e5a9fbd6)
量子场论中的应用
任意算符的正规序的真空期望值为零。这是因为对于真空态来说,
以及
都是0。
这里
和
分别是(玻色子或费米子的)产生和湮灭算符。将正规序的这一性质与维克定理结合起来,便能大大简化场算符的真空期望值的计算。
参考文献