在量子場論中,一組創生及湮滅算符的乘積稱為是按正規序排列的,如果所有的創生算符排列在所有的湮滅算符的左側,相應的乘積稱為正規乘積[1]。類似地可以定義反正規序,在反正規序中,所有產生算符排列在湮滅算符的右側。
記號
令
為任意創生和湮滅算符之乘積,則我們將
按照正規序重新排列之後得到的算符用
或
表示。注意正規序只對算符乘積有意義,因為正規序不是線性關係,將正規序用在算符和並無太大作用。
玻色子
玻色子符合玻色–愛因斯坦統計。
單個玻色子
單個玻色子有一個產生算符和一個湮滅算符:
:玻色子的產生算符
:玻色子的湮滅算符
則有:
![{\displaystyle \left[{\hat {b}}^{\dagger },{\hat {b}}^{\dagger }\right]_{-}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61181ceded319373055a84dc6a94dc4380a1f656)
![{\displaystyle \left[{\hat {b}},{\hat {b}}\right]_{-}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63816bf8766923817dc47201e85bbe12285859f6)
![{\displaystyle \left[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }\right]_{-}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abe1bdcae41e256df878e30bf41844ccae4cca7d)
其中
表示兩個算符的對易子。
例子
1. 最簡單的例子是
的正規序,根據正規序的定義,可見這裏的算符已經按照正規序排列,所以
的正規序就是它自身:
![{\displaystyle {:\,}{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f368cc01d01857d77ab78be465d1c32a851e6dcd)
2. 第二個例子是
的正規序,
![{\displaystyle {:\,}{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d10983b62ea4b53a45f55ed7b5892e59bedd1956)
這裏,按照正規序的要求,產生算符
放到了湮滅算符
的左邊。由玻色子算符的對易關係有:
![{\displaystyle {\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }-{:\,}{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/494c828f5c77c7ab52afc7731bccdd675fb49920)
在維克定理中,兩個產生或湮滅算符的乘積與它們的正規序之間的差,稱為這兩個算符的收縮。
3. 一個多算符的例子:
![{\displaystyle {:\,}{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}=({\hat {b}}^{\dagger })^{3}\,{\hat {b}}^{4}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9c5ab4e0dde195bb6d817deee2660ef41f6dda8)
多個玻色子
對於
個不同的玻色子來說,有
個算符:
:第
個玻色子的產生算符
:第
個玻色子的湮滅算符
其中
.
它們滿足下列對易關係:
![{\displaystyle \left[{\hat {b}}_{i}^{\dagger },{\hat {b}}_{j}^{\dagger }\right]_{-}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48d6e2a47dd564adc74c5da6c592f1c4f6f1a101)
![{\displaystyle \left[{\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}\right]_{-}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cad36d9d2b78500fd609df4a74f20c26b35214e)
![{\displaystyle \left[{\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}^{\dagger }\right]_{-}=\delta _{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47d7016b65f60e627505089726148f1c8bf5e597)
其中
,
是克羅內克函數。
例子
1.對於兩個玻色子 (
) ,有:
![{\displaystyle :{\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a1ade54440e12f3951f34ddef48e526ad02f349)
![{\displaystyle :{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{1}^{\dagger }:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ba0c22c00d094ac10bd1632f0e76e7b9e2fae34)
2. 對三個玻色子 (
) ,有:
![{\displaystyle :{\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4839241bbb245461c400449fc92a344d780dddaf)
由於
(參見對易關係),湮滅算符之間的順序並不重要。
費米子
費米子服從費米-狄拉克統計。
單個費米子
單個費米子有一個產生算符和一個湮滅算符:
:費米子的產生算符
:費米子的湮滅算符
它們滿足下面的反對易關係:
![{\displaystyle \left[{\hat {f}}^{\dagger },{\hat {f}}^{\dagger }\right]_{+}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d3ac153ef4ac8ff6806b35d5aff966d0f3ed9ad)
![{\displaystyle \left[{\hat {f}},{\hat {f}}\right]_{+}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cc4e2943986870261f822b8db6088b0fb8f794d)
![{\displaystyle \left[{\hat {f}},{\hat {f}}^{\dagger }\right]_{+}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4c217f8baf594cc8f6339716924f8efad7ed5db)
其中
是反對易子。
與玻色子不同的是,對於費米子的正規序,每當重新排序引起兩個算符的前後順序發生變化時,需要額外引入一個負號。
例子
1. 最簡單的例子是:
![{\displaystyle :{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}:\,={\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edae4b606a8c2a68973d24305951721c4692df7a)
由於算符已經按正規序排列,所以其正規序就是它本身。反過來,若是產生算符排列在後面,則如前文所說,其正規序需要引入一個負號,即:
![{\displaystyle :{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }:\,=-{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62d87206abb9e9c1aa3f973575f2b2d4e9a3589a)
由費米子算符的反對易關係有:
![{\displaystyle {\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }-:{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }:=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a22216d32ef558b10c47bc7ca32bceb5c434033)
與玻色子的情形一樣,上式用於定義維克定理裏面的收縮。
2. 其它情形下的正規序都是零,因為此時同一個湮滅算符或產生算符至少連續出現了兩次。根據費米子的性質,此時結果為零,例如:
![{\displaystyle :{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}{\hat {f}}^{\dagger }:\,={\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}\,{\hat {f}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6e49b1f7faa582b847e25b764bb61809b8dd19e)
多個費米子
個費米子有
個產生湮滅算符,設:
為第
個費米子的產生算符
為第
個費米子的湮滅算符
其中
.
它們滿足下列反對易關係:
![{\displaystyle \left[{\hat {f}}_{i}^{\dagger },{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\right]_{+}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e028a2ae7b22555b9cbcd653a6550a7c03708238)
![{\displaystyle \left[{\hat {f}}_{i},{\hat {f}}_{j}\right]_{+}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb699f8f0c45aff921bb302cf002da2487f840e9)
![{\displaystyle \left[{\hat {f}}_{i},{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\right]_{+}=\delta _{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47e336718a18e3acdf8a79afb3538e6e9ab20fd6)
其中
,
是克羅內克函數。
例子
1. 對兩個費米子 (
) ,有:
![{\displaystyle :{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11c0fa0bb717cd686e37a436fc5286550787a75c)
由於算符已經按正規序排列,所以其正規序就是它本身。
![{\displaystyle :{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }:\,=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26a5548e0f582a292573042e38ec6eefa2cc4505)
由於兩個算符的順序發生了交換,所以要引入一個負號。
![{\displaystyle :{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}=-{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/659cc51b309b0714c8c47725468ec6d543063add)
與玻色子的情形不同,此時產生算符之間的順序是有關係的。
2. 對三個費米子 (
) ,有:
![{\displaystyle :{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27b4e6161df48bbced28396a4fdd2cab9172b7f4)
類似地有:
![{\displaystyle :{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}:\,=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69a2a5ba706b7a480345a6053f0cfa7531158f12)
![{\displaystyle :{\hat {f}}_{3}{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31dc31c0884c8042cbab99c55fbaf786e5a9fbd6)
量子場論中的應用
任意算符的正規序的真空期望值為零。這是因為對於真空態來說,
以及
都是0。
這裏
和
分別是(玻色子或費米子的)產生和湮滅算符。將正規序的這一性質與維克定理結合起來,便能大大簡化場算符的真空期望值的計算。
參考文獻